Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
случая изображена на рис. 16.6. В системе существует единственное
состояние равновесия, устойчивое в области расстроек |?| < ?i. Значение
параметра ? = ?i является бифуркационным. На фазовой плоскости системы
(16.6) при ? = ?i имеется сложный фокус. При ? > ?i рождается предельный
цикл, а сам фокус
Рис. 16.6. Амплитудно-частотная характеристика
неавтономного генератора при синхронизации сильным сигналом (El > 8/27)
16.1. Вынужденная синхронизация
337
становится неустойчивым. Для доказательства устойчивости предельного
цикла остается выяснить, как ведут себя фазовые траектории при достаточно
больших амплитудах а и Ъ. Согласно (16.6) амплитуда колебаний при больших
а и Ъ уменьшается, следовательно, "бесконечность" неустойчива, и все
фазовые траектории сходятся в некоторую область, т. е. стремятся к
предельному циклу.
Рис. 16.7. Особенности режима биений в неавтономном генераторе (бигармо-
нический режим при сильном внешнем сигнале): а - зависимость глубины
модуляции М выходного сигнала от расстройки, показывающая, что биения
возбуждаются мягко по ампитуде; б - "жесткое" возбуждение частоты биений
Е и ее зависимость от расстройки
Движение по предельному циклу соответствует периодическому изменению
амплитуд а и Ь, что означает наличие бигармонического режима в исходной
системе (режим биений). Биения возникают мягко по амплитуде (рис. 16.7а).
так как предельный цикл рождается с нулевым радиусом. Частота биений при
этом конечна, так как предельный цикл возникает из фокуса и в момент
возникновения имеет частоту, отвечающую исчезнувшему состоянию
равновесия. Для се определения следует найти корни характеристического
уравнения Л2 + рХ + q = О при ? -i ?i. Значение мнимой части корней и
даст искомую частоту. Нетрудно показать, что с увеличением расстройки
частота биений растет (рис. 16.76). Для больших значений ? можно считать,
что амплитуды а и Ъ изменяются с некоторой частотой ш*, а кроме того,
претерпевают еще очень медленные (малые на периоде 1/ш*) изменения.
Тогда, применив повторно метод усреднения, удается найти амплитуду цикла
на плоскости переменных Ван-дер-Поля и частоту вращения по нему.
Слабый сигнал (.Е2Н < 4/27). Амплитудно-частотная характеристика для
этого случая изображена на рис. 16.8. Синхронизация имеет место в
интервале расстроек |?| < ?i, т. е. там, где имеется устой-
М
Q
338
Глава 16
Рис. 16.8. Амплитудно-частотная характеристика неавтономного генератора
при синхронизации слабым сигналом (ЕдИ/27). Синхронизация имеет место в
интервале |?| < ?i (двойная штриховка)
Рис. 16.9. Фазовый портрет неавтономного генератора в переменных Ван-дер-
Поля при слабом внешнем сигнале, иллстрирующий эволюцию сосотояния
равновесия при изменении расстройки: а - |?| < ?i, б - |?| = l?i|> в -
1?1 > 6
чивая ветвь резонансной кривой. Наличие в этой же области неустойчивых
ветвей не влияет на режим захватывания, но меняет характер выхода системы
из этого режима. В случае |?| < фазовый портрет для переменных Ван-дер-
Поля представлен на рис. 16.9а. Существует три состояния равновесия -
неустойчивый фокус, седло, устойчивый узел - с суммарным индексом
Пуанкаре j = +1. "Бесконечность", как уже отмечалось, траектории сходятся
к узлу. При ? = два состояния равновесия - седло и узел - сливаются,
образуя сложную особую точку типа седло-узел (рис. 16.96) с j = 0,
которая при дальнейшем увеличении расстройки исчезает. Из сепаратрисы
седла при этом рождается предельный цикл, к которому асимптотически
сходятся все фазовые траектории. Так как радиус предельного цикла в
момент рождения конечен, а частота обращения по небу изображающей точки в
момент рождения равна нулю (время движения по петле сепаратрисы
бесконечно), то характер изменения глубины модуляции и частоты биений при
увеличении расстройки (рис. 16.10) будет иным, чем в случае сильного
сигнала.
Следует заметить, что явление синхронизации не имеет нижнего предела по
амплитуде, сколь угодно малый сигнал может синхронизовать генератор, при
этом полоса синхронизации становится все уже.
16.1. Вынужденная синхронизация
339
М
Q
а)
¦6 6 S
б)
Рис. 16.10. Иллюстрация различий режимов биений при слабом и сильном
внешних сигналах (рис. 16.7): а - биения возбуждаются жестко по амплитуде
(размеры предельного цикла сразу конечны); б - мягкое возбуждение частоты
биений (частота обращения по предельному циклу изображающей точки в
момент его рождения равна нулю)
Подчеркнем, что если нелинейность генератора не мала, то воздействие
периодической силы может привести не только к синхронизации генератора
или к работе системы в режиме биении (вне полосы захватывания или
синхронизации), но и к установлению очень сложных режимов колебаний и
даже колебаний со сплошным спектром. Такие колебания наблюдались недавно
авторами работы [13] в неавтономном генераторе, который описывается
уравнением вида х - /х(1 - х2)х + х3 = = В cos fit. В частности, при р, -
0,2, fl = 4,0 и В = 17,0 наблюдались колебания со сплошным спектром в
