Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
U - а{\ - (3U2)U + uJqU - ecosSlt. (16.1)
где а. /? и Uq определяются выражениями (14.4), е = Е0/(ЬС).
ника сообщают некоторое движение и самим часам, как бы тяжелы они ни
были. А это движение передается балке, и если маятники сами не двигались
в противоположных направлениях, то теперь это произойдет с
необходимостью, и только тогда движение балки прекратится. Но эта причина
не была бы достаточно эффективна, если бы ход обоих часов не был бы с
самого начала однороден и согласован между собой". Качественная сторона
противофазного устойчивого движения часов описана на редкость точно.
Разумеется, количественного описания у Гюйгенса не было: в то время не
были еще точно сформулированы законы механики.
16.1. Вынужденная синхронизация
331
Далее будем считать, что аисв (16.1) малы, т. е. генератор слабо
возбужден, и амплитуда внешнего сигнала (или величина связи с внешним
генератором) также мала. Введем новое время ?н = безразмерную координату
х = /?1//217 и параметры /х = a/fl, /х? = 2(w0 - рьЕ = (3^2Е0/П2. Тогда
уравнение (16.1) перейдет в уравнение
х - /х(1 - х2)х + pt?x + х - fiEcost, (16-2)
где ? характеризует относительную расстройку между собственной частотой
генератора и частотой внешнего сигнала, индекс "н" опущен. Запишем
уравнение (16.2) в виде системы
х = у, У = -х + /4(1 - х2)у - ?ж + Е cos ?],
или
х = у, y = -x + tif(x,y,t),
(16-3)
f(x, у, t) = (1 - х )у - ?ж + Ecost.
В своем методе Ван-дер-Поль шел от метода вариации произвольных
постоянных. Решение системы уравнений (16.3) при fi = 0 известно:
х = A sin t + В cos t, у = A cos t - В sin t.
Будем искать решение при /*, отличном от нуля, в том же виде, но
считать амплитуды А и В функциями времени: A(t), B(t). Пока это
просто
замена переменных: от ж и у хотим перейти к А и В. Дифференцированием
х(А, В) и у(А, В) по t найдем
х = A sin t - A cos t + В cos t - В sin t,
у = A cos t - A sin t - В sin t - В cos t
и подставим в (16.3). Разрешая относительно производных А и В, получаем
А = ц/(А. В. t) cos ?, В = -ц/(А, В, t) sin t.
Эти уравнения называют уравнениями в переменных Ван-дер-Поля. Это точные
уравнения, так как никаких приближений пока не делалось. Теперь
воспользуемся тем, что /х мало. Если /t С 1, а |/| в среднем порядка
единицы, то А и В в первом приближении будут медленно изменяющимися
функциями времени - на периоде Т = 2л изменения функций, стоящих в правых
частях системы уравнений для А и В.
332
Глава 16
почти не меняются. Далее периодические функции f(A, В, t)
разложим в ряд Фурье и оставим лишь нулевую гармонику, поскольку она
соответствует медленному изменению производных А и В. Быстро-
осциллирующие слагаемые можно отбросить, опираясь именно на эту
медленность А и В (они дадут вклад в следующее приближение). Таким
образом, получим приближенные, усредненные или, как их еще называют,
"укороченные" уравнения
dA/dr = (f(A, В, t) cost), dB/dr = -(f(A, B, t) sint), (16.4)
где r = pt, a
t+T
(><A'B' *) (21))=T~l / л-4'B' (2,1)dL
t
Теперь применим эти общие результаты к нашей конкретной системе (16.3).
Для нее
f{A, В, t) - (1 - A2 sin21 - 2АВ sint cost - В2 cos21) x x {A cos t - В
sin t) - ?(A sin t + В cos t) + E cos t.
Отсюда получаем
(/cost) = \A- I A3 - | AB2 - ±?B + \AB2 + (/sint) = -\В - \AB2 + \a2B +
|В3 - ±?A.
Окончательно укороченные уравнения примут вид
Рассмотрим теперь различные случаи.
Автономный генератор (Е = 0). а) Если искать решение на собственной
частоте шо, то ? = 0. Параметры автоколебаний определяются стационарными
решениями системы (16.5). Последняя имеет неустойчивое состояние
равновесия в начале координат А = В = 0 и непрерывное множество состояний
равновесия, лежащих на окружности р2 = = А2 + В2 - А. Фазовый портрет
представлен на рис. 16.3 а. Как его
cos t sint
16.1. Вынужденная синхронизация
333
А
У=х
А
\ ' /
В
а)
б)
в)
Рис. 16.3. Фазовые портреты автономного генератора (Е = 0): а - на
плоскости АВ решение ищется на собственной частоте шо (начало координат -
неустойчивое состояние равновесия; окружность р2 = А2 + В2 = 4 -
множество состояний равновесия); б- на плоскости ху, соответствующей a; s
- на плоскости АВ решение ищется на частоте Е
трактовать? Не значит ли это, что из грубой системы мы получили негрубую?
С какими значениями амплитуд А и В будут происходить автоколебания? Чтобы
ответить на эти вопросы, удобно перейти к фазовой плоскости исходных
переменных ж и у. Для этого надо перейти в систему координат (х, у),
вращающуюся по часовой стрелке с угловой скоростью щ>о- Окружность
радиуса р = 2 перейдет в предельный цикл, а фазовые траектории,
являющиеся прямыми на плоскости АВ, - в спирали, накручивающиеся на
предельный цикл (рис. 16.3(1). Чтобы пояснить последнее, вспомним, что
движение по фазовым траекториям на плоскости АВ происходит со скоростью
порядка р, и, следовательно, за один оборот точка мало успеет
продвинуться по радиусу. Таким образом, в генераторе будут существовать