Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
лазера с неоднородно уширенной линией спектра активного вещества.
Появление конкуренции, наблюдаемое при сильной связи нескольких
автоколебательных мод, объясняется зависимостью нелинейного затухания
одной из мод от энергии другой. Если моды равноправны и связь взаимна, то
устанавливается режим генерации той моды, которая преобладала вначале.
Зависимость от начальных условий приводит к тому, что для перехода
системы из одного режима в другой необходимо заметно изменить частоту
одной из мод, т. е. изменить расстройку,
16.1. Вынужденная синхронизация
329
причем значения расстройки при движении в разных направлениях не
совпадают (гистерезис). Интервал расстроек, в котором частота генерации
зависит от предыстории, называют интервалом затягивания.
В последние два десятилетия вновь возрос интерес к этим классическим и
ставшим почти азбучными эффектам. В первую очередь этот интерес связан с
появлением активных распределенных систем (молекулярные и оптические
квантовые генераторы, (лазеры на циклотронном резонансе и т. д.), а также
с созданием систем с большим числом активных элементов. В тех случаях,
когда активные приборы в целях увеличения мощности или повышения КПД
объединяются в упорядоченные пространственные структуры, получившиеся
системы становятся аналогичными распределенным.
От способа объединения активных элементов (диоды Ганна, лавиннопролетные
диоды и др.) зависит лишь характер дисперсии получившейся "среды".
Начнем рассмотрение многочастотных систем с анализа классического эффекта
теории нелинейных колебаний - синхронизации ("захватывания") частоты
генератора внешним синусоидальным сигналом, частота которого близка (но
не совпадает) к собственной частоте генератора. Будем считать, что если
при взаимодействии объектов любой природы, рассматриваемых как
равноправные, устанавливаются вполне определенные частотные соотношения
("единый ритм совместного существования" [1]), то имеет место взаимная
или внутренняя синхронизация объектов.
Если же один из объектов столь мощный, что навязывает свою частоту
(заданную и неменяющуюся) другим автоколебательным системам. то возникает
внешняя (вынужденная) синхронизация или захватывание частоты1.
1 Более 300 лет назад Христиан Гюйгенс в своих знаменитых "Трех мемуарах
по механике" [2] дал прекрасную "инструкцию" недобросовестным часовщикам
по поводу того, как обмануть доверчивого бюргера: "Маятник этих часов
имел длину 9 дюймов и груз полфунта. Механизм приводился в движение
гирями, заключенными в ящик вместе с механизмом. Длина ящика была 4 фута.
Внизу он был отягчен по крайней мере 100 фунтами свинца, чтобы весь
механизм возможно лучше сохранял на судне вертикальное положение. С этими
часами было сделано следующее интересное наблюдение. Двое таких часов
висели на одной и той же балке, покоящейся На двух опорах. Оба маятника
двигались всегда в противоположные стороны, и колебания так точно
совпадали, что никогда ни на сколько не расходились. Тиканье обоих часов
было слышно в одно и то же мгновение. Если искусственно нарушалось это
совпадение, то оно само восстанавливалось в короткое время. Сначала я был
поражен этим странным явлением, но наконец после внимательного
исследования нашел, что причина лежит в незаметном движении самой балки.
Колебания маят-
330
Глава 16
Здесь мы дадим количественную теорию явления синхронизации
автоколебательных систем на примере лампового генератора, принципиальная
схема которого проведена на рис. 16.2. Как довести исследование подобной
конкретной нелинейной динамической системы до чисел? Один пример мы уже
рассматривали - это автоколебания в системе, где удалось разделить
быстрые и медленные движения. Формально такое разделение можно сделать,
если в уравнениях при старшей производной имеется малый параметр. Его
присутствие позволяет во многих случаях (не только, конечно, при анализе
автоколебаний) понизить порядок исходной системы - проинтегрировать ее по
участкам быстрых и медленных движений. Следует заметить, что большинство
методов, позволяющих довести решение конкретной нелинейной задачи до
конца без применения численного счета на ЭВМ, связано с наличием в
системе малого параметра, т. е. фактически с близостью исследуемой
системы к другой, более простой, а точнее, интегрируемой (хотя бы и
приближенно). Другой случай, когда удается решить задачу аналитически, -
он наиболее часто встречается в физике и различных приложениях - это,
когда исходная нелинейная система близка к линейному осциллятору или
нескольким осцилляторам. При этом решение близко к набору синусоид,
однако их параметрами, очевидно, будут уже не числа, а медленно
изменяющиеся функции времени.
Рис. 16.2. Схема лампового генератора, синхронизированного внешним
сигналом Ео cos fit, частота которого близка к собственной частоте
Рассмотрим один из вариантов метода усреднения - метод Ван-дер-Поля -
применительно к схеме рис. 16.2, которая описывается уравнением
