Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
том, что на секущей поверхности сепаратрисы могут пересекаться (это
поясняет рис. 15.15), причем пересечение сепаратрис в одной точке влечет
за собой их пересечение в бесконечном числе точек.
326
Глава 15
Поясним последнее обстоятельство подробнее. Сепаратрисы на секущей
состоят из точек, которые получаются в результате последовательного
применения отображения. Если точка принадлежит сразу двум сепаратрисам
(устойчивой и неустойчивой), то и все ее образы (при п -> оо) и прообразы
(при п -> - оо) также должны принадлежать двум сепаратрисам сразу.
Следовательно, устойчивая и неустойчивая сепаратрисы должны иметь счетное
множество общих точек, т. е. точек пересечения. Ясно, что вблизи
неподвижной точки, где движение экспоненциально замедляется, точки
пересечения инвариантных многообразий должны сгущаться. В результате на
секущей поверхности получается картина, подобная той, что на рис. 15.16.
Точки пересечения сепаратрис на секущей принадлежат двоякоасимптотической
траектории, которую Пуанкаре назвал гомоклинической. При t -> ±оо эта
траектория сматывается и наматывается на исходное периодическое движение.
Окрестность гомоклинической траектории в фазовом пространстве называют
гомоклинической структурой. В такой структуре имеется бесконечное
разнообразие траекторий, среди которых наряду с периодическими есть и
случайные. Полное описание траекторий, принадлежащих гомоклинической
структуре, было дано сравнительно недавно на языке символической динамики
[14].
Подчеркнем еще раз, что в а;if-пространстве сепаратрисы представляют
собой поверхности, пересекающиеся по кривой. Такое пересечение не
исчезает при малом изменении параметров физической системы, т. е.
является грубым. Грубой является и гомоклиническая структура.
Если проследить за эволюцией маленького фазового объема в окрестности
гомоклинической кривой, мы заметим, что со временем он сложным образом
деформируется и при t -> оо расплывется по всей структуре (рис. 15.16).
Отсюда следует локальная неустойчивость почти всех траекторий внутри
структуры -- точки, бывшие в момент t = 0 сколь угодно близко друг к
другу, с ростом t расходятся. Такая, локальная неустойчивость траекторий,
заключенных в ограниченный фазовый объем, и влечет за собой сложность,
запутанность движения
Рис. 15.16. Гомоклиническая траектория на секущей плоскости t = = const.
Заштрихованы участки гомоклинической структуры, отображающиеся друг в
друга
15.5. Гомоклинические структуры
327
внутри гомоклинической структуры. Подробно эти движения в динамических
системах мы будем обсуждать в гл. 22 и 23.
Хотя связанное с существованием гомоклинической структуры сложное
поведение динамической системы открыл еще А. Пуанкаре [15]
соответствующее изображение структуры (рис. 15.16) появилось много позже
[9].
Если в фазовом пространстве системы существует гомоклиническая структура,
то это фактически гарантия того, что динамика системы будет сложной (см.
гл. 22). Приведем здесь удобный критерий существования гомоклинической
структуры для близких к консервативным систем типа(15.9), принадлежащий
В. К. Мельникову [9]. В качестве исходных рассмотрим уравнения
неавтономного осциллятора в виде
х = Ро(х, у) + ypi{x, у, wt, у), (15 10)
У = Уо(х, у) + yqi(x, у, wt, у).
Пусть при у = 0 в этой системе на фазовой плоскости существует замкнутая
сепаратрисная петля (см. рис. 15.10а). Критерий возникновения при у > 0 в
фазовом пространстве системы (15.10) гомоклинической структуры
заключается в определении знакопеременности функции, характеризующей
расстояние между сепаратрисами. В случае у 1 эта функция, которую
называют функцией Мельникова или функцией "щели", может быть приближенно
записана в виде
Дм
ии
(<о) = J {pi[x0(t-to),yo(t-to)]qo[xo(t-to),yo(t-to)]-
- ОО
qi[x0(t - t0),yo(t - to)]po[zo(< - to),Vo(t - to)]} x
t - to
xexp{- J ^poMC),j/o(C)] + J^goMC),z/o(C)]^jdCdf- (i5.li) 0
Здесь xo(t). yo{t) - решение невозмущенной системы, соответствующее петле
сепаратрисы, to - параметр, характеризующий положение точки на этой
сепаратрисе. С конкретным применением данного критерия мы встретимся в
гл. 23 [11].
Глава 16
Автоколебания в многочастотных системах
16.1. Вынужденная синхронизация
На рис. 16.1 показана схема двухконтурного генератора, исследовавшегося
Ван-дер-Полем, Андроновым и Виттом (см., например, [5, 11]). Уже тогда
были обнаружены наиболее важные эффекты,
Рис. 16.1. Схема двухконтурного автогенератора
характерные для взаимодействия "элементарных генераторов", например
таких, как рассмотренный в предыдущей главе генератор Ван-дер-Поля [6], -
эффекты конкуренции мод, синхронизации и затягивания колебаний [3, 4].
Любопытно, что из-за особенностей нелинейности в вандерполевском
генераторе незамеченным в работах Андронова и Ван-дер-Поля остался лишь
тривиальный, по существу, эффект одновременной генерации двух мод,
возможный при их слабой связи (случай, типичный, например, для газового
