Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 852

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 846 847 848 849 850 851 < 852 > 853 854 855 856 857 858 .. 942 >> Следующая

равновесия подобно слиянию и исчезновению двух циклов; на секущей Е они
даже выглядят одинаково - роль состояний равновесия играют неподвижные
точки отображения Пуанкаре (рис. 15.12).
Если один из мультипликаторов устойчивого периодического движения при
изменении параметра проходит через -1 (малое возмущение за один оборот по
траектории просто меняет знак), то через следующий оборот возмущенная
траектория, очевидно, уже замыкается (рис. 15.13) - из периодического
движения рождается устойчивое периодическое движение удвоенного периода,
а исходное становится неустойчивым. Родившееся периодическое движение при
изменении параметра (и снова может потерять устойчивость через бифуркацию
х + а( 1 - fix2 + (Зх4)х + ы2х = 0.
из них - это рождение инвариантного тора из предельного цикла (рис.
15.11) и бифуркация удвоения периода. Остановимся на них подробнее. Для
этого воспользуемся отображением Пуанкаре.
Рис. 15.11. Рождение устойчивого инвариантного тора
Как мы видели, бифуркации периодических движений связаны с переходом
мультипликаторов через единичную окружность. Рассмотрим следующие
бифуркации: а) один из мультипликаторов становится равным +1; б) один из
мультипликаторов становится рав-
15.4. Бифуркации периодических движений
321
Рис. 15.12. К слиянию седловой и устойчивой точек на плоскости Е
Рис. 15.13. Бифуркация удвоения периода
удвоения периода и т. д. О таких последовательных бифуркациях мы будем
говорить в гл. 22 в связи с возникновением в динамических системах
хаотического поведения.
При выходе мультипликаторов периодического движения за границы единичной
окружности в точках ехр(±т) при а ф- 07Г. тг/2, 27Г/3 из периодического
решения появляется (или в нем исчезает) двумерный инвариантный тор - по
образному выражению А. А. Андронова "с цикла слезает шкура" (см. рис.
15.11). При этом движение из периодического становится
квазипериодическим. Подобная бифуркация наблюдается в системе двух
связанных автогенераторов при переходе из режима взаимной синхронизации в
режим биений (см. гл. 16).
Значениям а = О, 7Г, тг/2, 2п/3 соответствуют резонансы при потере
устойчивости. Такие резонансы являются двукратным вырождением (по модулю
и по аргументу), и они должны исследоваться уже в пространстве двух
параметров [10]: затухания вблизи периодического движения и расстройки
частоты от резонанса (в данном случае расстройка - разность между
аргументом мультипликатора и резонансным значением аргумента).
Бифуркации, в результате которых исчезают статические или периодические
режимы, могут приводить к тому, что система выходит на так называемый
"хаотический", или "стохастический", режим. Его математический образ в
фазовом пространстве, называемый странным аттрактором, топологически
может быть устроен по-разному, чем, в частности, определяется
многообразие путей его возникновения. Соответствующие бифуркации мы
обсудим в гл. 22.
322
Глава 15
15.5. Гомоклинические структуры
Рассмотрим, как ведет себя система из двух нелинейных связанных
осцилляторов:
*1 + Х\ = -2flXiX2, Х2 + Х2(1 - №2) =-рх\, (15.8)
которая была исследована сравнительно недавно [13] с помощью метода
детального численного моделирования. Эта система интересна, в частности,
для астрофизики - она моделирует поведение звезды в поле галактики с
потенциалом
U(x 1, Х2) = х\/2 + х\х2 - х\/Ъ + х\/2.
При /х 1 осцилляторы демонстрируют простое квазипериодическое поведение.
Так же будет и при не малых /х (/х ~ 1), но малых начальных энергиях
возбуждения (рис. 15.14). На рис. 15.14 изображено сечение плоскостью xi
= 0 траекторий в фазовом пространстве Х1Х2А2 системы (15.8); фазовое
пространство этой системы можно считать трехмерным, если учесть интеграл
энергии (при /i = 1)
S = (1/2 + x2)xl + (1/2 - х2/3)х% + (if + i§)/2.
Все траектории как бы лежат на гладких поверхностях - торах, т. е.
движение системы при любых начальных условиях условнопериодическое. Что
произойдет, если мы будем увеличивать энергию колебаний осцилляторов?
Прежде всего движение второго осциллятора станет сильно нелинейным -
появятся движения, близкие к сепаратрисе одиночного нелинейного
осциллятора (ср. рис. 15.1д). Благодаря наличию вынуждающей силы,
пропорциональной x\{t), уже нельзя сказать, останутся ли они
квазипериодическими или тип движения будет меняться - точка будет
переходить попеременно из области внутри сепаратрисы в область вне ее.
Результаты численных экспериментов с двумя связанными нелинейными
осцилляторами (15.8) при начальных энергиях So > 1/12 приведены на рис.
15.14. На рисунке видно, что при превышении начальной энергии <оо = 1/12,
еще соответствующей простым движениям, всего лишь на 0,04 фазовая
траектория уже не наматывается ни на какую поверхность, а, похоже,
случайным образом блуждает в ограниченной области фазового пространства!
При дальнейшем увеличении So область, занятая случайными движениями,
расширяется, а занятая периодическими или квазипериодическими движения -
Предыдущая << 1 .. 846 847 848 849 850 851 < 852 > 853 854 855 856 857 858 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed