Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
пространстве (рис. 15.8(1). При этом на плоскости Е это соответствует
неустойчивой неподвижной точке.
Рис. 15.8. Устойчивая (а) и седловая (б) неподвижные точки на секущей,
соответствующие устойчивому и седловому циклам
Устойчивому предельному циклу на секущей плоскости соответствует
устойчивая неподвижная точка (рис. 15.8 а).
Для одномерного отображения устойчивость неподвижной точки удобно
иллюстрировать с помощью диаграммы (диаграмма Ламерея), изображающей
последовательность (15.6). Для этого построим на плоскости XkXk-i кривую
зависимости хк = S{xk-i)\ тогда неподвижная точка определяется
пересечением этой кривой с прямой хк = xk~i (рис. 15.9). "Лесенка"
Ламерея позволяет определить устойчивость неподвижной точки: рис. 15.9 а
- "лесенка" ведет к устойчивой неподвижной точке, при этом \dxk/dxk-i\ <
1; рис. 15.9(1 - "лесенка" уводит от неподвижной точки. \dxk/dxk-i\ >1 -
неустойчивость.
Рассмотрим теперь общий n-мерный случай. Введем на Е систему координат ?
= (?i, ?2, ... , ?n-i)- Тогда определяемая траекториями системы связь
координат к-й точки пересечения траектории с Е с координатами (к + 1)-й
точки пересечения и есть отображение Пуанкаре
6+1 =F(Zk,n), (15-7)
318
Глава 15
а) 6)
Рис. 15.9. Диаграммы Ламерея для устойчивого (а) и неустойчивого (б)
периодического движения
где [I - параметр динамической системы. Периодическому движению
соответствует неподвижная точка ?* = F(?*, fi) этого отображения, а
движению по незамыкающейся обмотке тора - тор на единицу меньшей
размерности. Устойчивость периодического движения, т. е. неподвижной
точки, по линейному приближению определяется собственными значениями
матрицы B([i) = dF(?*, т. е. корнями харак-
теристического уравнения det- AЕ) = 0, где Е - единичная матрица. Эти
собственные значения р, называются мультипликаторами (название проясняет
и смысл: мультипликатор - это коэффициент передачи для малого возмущения,
выбранного на Е, за один проход). В автономных системах один из
мультипликаторов, соответствующий эволюции возмущения вдоль периодической
траектории, всегда равен единице, т. е. число мультипликаторов, значимых
с точки зрения анализа бифуркаций в системе с n-мерным фазовым
пространством, будет равно п - 1.
Если все п - 1 мультипликаторов по модулю меньше единицы, т. е. лежат на
комплексной плоскости внутри единичного круга, то все возмущения на
каждом шаге (обороте возмущенной траектории) уменьшаются и периодическое
движение устойчиво. Если же хоть один из мультипликаторов находится вне
единичного круга - то неустойчиво. Таким образом, бифуркации
периодических движений происходят при переходе мультипликаторов через
единичную окружность.
Подчеркнем, что поскольку здесь речь идет о малых возмущениях на фоне
периодического движения, то они описываются линейным уравнением с
периодическими коэффициентами. Для фундаментальной матрицы решений и(t)
этого уравнения справедлива теорема Флоке (см. гл. 11): u(t) =
Ф(?)ехр(А?), где <3>(f) - периодическая с периодом Т матрица. Собственные
значения А; матрицы Л называются ха-
15.4. Бифуркации периодических движений
319
рактеристическими показателями. Мультипликаторы - это собственные
значения матрицы ехр(ЛТ), т. е. они связаны с характеристическими
показателями формулой = (\npi)/T.
Рис. 15.10. Рождение и исчезновение предельного цикла: а - из сепаратрисы
седла; б - из сгущения фазовых траекторий
15.4. Бифуркации периодических движений
Мы пока познакомились лишь с одной бифуркацией периодического движения -
ему соответствует рождение (при изменении параметра) предельного цикла из
состояния равновесия (при обратном изменении параметра предельный цикл
"влипает" в состояние равновесия и таким образом исчезает). Именно так
возникает или исчезает периодический режим в генераторе Ван-дер-Поля при
увеличении коэффициента обратной связи. Помимо такой бифуркации
периодического режима в системах с одной степенью свободы часто
встречаются две более сложные:
а) рождение предельного цикла из сепаратрис седла [7] (рис. 15.10 а);
эта бифуркация наиболее характерна для систем типа "нелинейный
осциллятор" при их малом возмущении неконсервативными добавками [12];
320
Глава 15
б) рождение (или взаимная смерть) пары циклов - устойчивого и
неустойчивого - из сгущения фазовых траекторий. Подобная бифуркация
характерна, например, для автогенераторов с жестким режимом колебаний
(рис. 15.10б): в простейшем случае такие генераторы описываются
уравнением вида
Перечисленные бифуркации возможны не только на фазовой плоскости, но и в
фазовом пространстве более высокой размерности. Помимо этих бифуркаций в
системах с размерностью пространства п 3 возможны и совершенно
специфические, новые бифуркации. Основные
ным -1; в) пара мультипликаторов принимает значение ехр(±т), где а ф 0,
7г, 7г/2, 27г/3.
Бифуркации периодических движений первого типа очень похожи на бифуркации
состояний равновесия (см. рис. 15.5 а) -- исчезновение двух состояний
