Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
картинка на фазовой плоскости. Зная, какие бифуркации возможны, мы
определим и качественные изменения фазового портрета. А нарисовав фазовую
плоскость, увидим, какие возможны движения - финитные, уходящие в
бесконечность, приводящие к устойчивому равновесию и т.д.
Рассмотрим в заключение этого параграфа законы совместного существования
различных типов состояний равновесия и замкнутых траекторий. Пусть есть
векторное поле на плоскости. Нарисуем замкнутый контур, не проходящий
через состояние равновесия (рис. 15.6 а). Если взять на этом контуре
точку 5 и двигать ее вдоль контура, то вектор поля, проходящий через эту
точку, будет непрерывно вращаться. Когда точка сделает полный оборот, то
вектор повернется на угол 2nj,
314
Глава 15
Рис. 15.5. Простейшие бифуркации автономных систем на фазовой плоскости
(а-г) и рождение устойчивого и неустойчивого циклов из сгущения фазовых
траекторий (д)
15.2. Основные бифуркации на плоскости. Индексы Пуанкаре
315
Рис. 15.6. К объяснению индексов Пуанкаре замкнутой кривой, окружающей
одну или несколько точек равновесия: а - j = 0 (внутри контура состояний
равновесия нет): б - j = +1, центр (то же самое для узла и фокуса): в -
J = -1, седло; J-j = -2 Ы J-1-1 1 -2); = -1 (j = -1 + 1-1 = -1);
е - j = +1 (j = -1 + 1 + 1 = +1); А - предельный цикл
где j - целое число. Направление вращения вектора будем считать
положительным, если оно совпадает с направлением движения точки 5. Целое
число j называется индексом Пуанкаре данного контура. Для контура,
изображенного на рис. 15.6 а, j = 0. Если состояние равновесия окружить
замкнутым контуром, то нетрудно убедиться, что индексы Пуанкаре для
центра, узла, фокуса равны +1, а для седла они равны -1 (рис. 15.6 5, в).
Для предельного цикла j = +1. Индекс замкнутой кривой, содержащей внутри
себя несколько особых точек, равен сумме индексов этих точек (рис.
15.6г). Отсюда сразу ясно, например, что предельного цикла, внутри
которого находятся два седла или два седла и фокус, существовать не
может, так как для него j = +1, а для трех таких состояний равновесия
сумма индексов j равна -1 + 1 - 1 = -1 (рис. 15.6 5). А вот в случае
седла и двух фокусов предельный цикл может существовать (рис. 15.6е), так
как в этом случае сумма индексов j равна -1 + 1 + 1 = +1. Два состояния
равновесия (седло и узел), представленные на рис. 15.5 а, могут слиться и
исчезнуть, так как их совместный индекс j = 0, а вот три состояния
равновесия на рис. 15.6 г исчезнуть не могут. Итак, опираясь на теорию
индексов Пуанкаре, можно утверждать следующее:
1. Внутри замкнутой фазовой траектории находится по крайней мере одна
особая точка, так как индекс такой траектории равен +1,
316
Глава 15
а индекс замкнутой кривой, внутри которой нет особых точек, равен нулю.
2. Если внутри замкнутой фазовой траектории находится одна особая точка,
то это не может быть седлом, а обязательно будет точкой с индексом +1.
3. Если внутри замкнутой фазовой траектории находятся несколько простых
особых точек, то число их всегда нечетно, а число седел на единицу меньше
числа остальных особых точек.
15.3. Точечные отображения
Одним из наиболее удобных методов анализа нелинейных динамических систем
является метод точечных отображений [6] или метод
С помощью этого метода удается эффективно понизить размерность
исследуемого фазового пространства. Особенно продуктивен метод точечных
отображений в численных экспериментах.
Будем интересоваться поведением траекторий в какой-либо области фазового
пространства. Выберем затем некоторую поверхность Е, которую все или
почти все траектории в интересующей нас области пересекают. Такая
поверхность называется секущей. Если траектории не покидают исследуемую
область, то они будут проходить сквозь секущую поверхность счетное число
раз (рис. 15.7). Функция 5, определяющая связь координат x*,_i (к - 1)-го
пересечения траектории с поверхностью Е с координатами Xfc следующего
пересечения, называется функцией последования:
х^ = S(x*;_i). (15.6)
Поскольку переменная х здесь фиксируется лишь в дискретные моменты
времени, это уже не дифференциальное уравнение, а разностное. Каждому
фазовому потоку (т. е. динамической системе, описываемой дифференциальным
уравнением) соответствует вполне определенное отображение (15.6). Если
поток трехмерный, то отображение
отображений Пуанкаре.
Рис. 15.7. Сечение фазового потока в трехмерном пространстве: Е - секущая
поверхность, которой фазовые траектории не касаются
15.3. Точечные отображения
317
двумерное - векторы хк и x^+i имеют только две координаты; если поток
двумерный, то секущая - просто линия и отображение одномерное. Для
трехмерных систем то обстоятельство, что отображение на единицу понижает
размерность пространства, качественно упрощает исследование - мы приходим
к фазовой плоскости, где все нам привычно. Вот, например, как выглядят
седловой предельный цикл и близкая к нему траектория в фазовом
