Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
для ускорения Ферми. Запишем упрощенное отображение в виде
ui+i = I м/ + / (Ф/) I, (3.4.8а)
%+! = %+ - • (3-4.86)
ui+1
Отметим несколько простых свойств этого отображения. Просуммировав
уравнение (3.4.8а) по k итерациям и принимая, что "/>/(%) при всех /,
получим фазовое соотношение для любой группы периодических
точек, лежащих на одной периодической траектории
отображения
!/(%) = 0. (3.4.9)
/=I
Взяв такую же сумму для уравнения (3.4.86), получим "среднюю" скорость щт
периодической точки периода k\
Ukm = ^-, (3.4.10)
т
х) В работе [38] исследовалось несколько иное отображение, однако
качественно сложная структура фазовой плоскости на рис. 3.14 характерна и
для отображения (3.4.1).- Прим. ред.
Отображения и линейная устойчивость
229
где m-взаимно простое с k целое число, а
к
= "Г1- (3.4.11)
/= 1
Целое число m нумерует периодические траектории с данным к. Разброс
скорости каждой периодической точки (к, m) лежит в пределах Анмакс = (&-
1) | / !макс*
Как видно из рис. 3.12-3.14, периодические точки, окруженные большими
областями устойчивости, расположены при и > 1, где величина е =
|/|MZKJukm мала. Они соответствуют первичным резонансам и сохраняются
даже в пределе е -> б. При е = О периодические точки (к, m) имеют
координаты: % = + 2njmlk\
Uj = kM'm\ j = I, ... , k\ г|)0 - любая величина. Значение яро
становится, однако, определенным при малом, но конечном е. Расположение
неподвижных точек (периода k = 1) для различных отображений приведено в
табл. 3.1.
Таблица ЗА. Расположение и устойчивость неподвижных точек (k=\)
Отображение Положение т=1,2,3" . . . Устойчивость
4>i ui
Точное (3.4.1) Упрощенное (3.4.4) /-яр- 1 /2 Упрощенное (3.4.6) f- simp.
Упрощенное (3.4.5) f=x(l-X2) х=2гр- 1. 1/2 М(+1/8)/т 1/2 М/т 0 М/т я М/т
1/2 М/т Устойчивы при "! > (M-f-1/8)1/2 -"- Mi > - /И1/2 2 -"-
u-l > (лМ/2)1/2 Неустойчивы Устойчивы при нх > (М/2)1/2
Линейная устойчивость. Теперь мы проведем подробный анализ устойчивости
неподвижных точек, представленных в табл. 3.1. Начнем с отображения
(3.4.4). Линеаризуя его в неподвижных точках = М!т\ % = 1/2, получаем
Днп_|_1 = ДНд -f- А'Фп" (3,4.12)
Д'Фя-н = Д'Фп (Ли*-Г А%|). (3,4.13)
и\
Откуда для матрицы преобразования вектора (Ди, Дяр) имеем
/1 1 \
230
Глава 3
При этом det А = 1, как и должно быть в силу сохранения фазовой площади.
Согласно (3.3.55), условие устойчивости имеет вид
болической точке с отражением. Именно такая неподвижная точка возникает,
когда эллиптическая точка превращается в гиперболическую на границе
устойчивости. Физический смысл такого превращения можно пояснить,
вычислив угол поворота о вокруг неподвижной точки, определяемый
выражением (3.3.54):
На границе устойчивости cos о - - 1 и, следовательно, сдвиг фазы о = п.
Это явление хорошо известно и детально исследовано в самых разных
областях, как, например, распространение волн в периодических структурах
[42] или движение частиц в ускорителях [94].
В качестве примера превращения эллиптических точек в гиперболические с
отражением рассмотрим отображение (3.4.6). Все неподвижные точки с = п (и
разными m и Mj) являются гиперболическими (без отражения), так как для
них SpA = 2 -f-
+ 2nm2/M >2 при любом m Ф 0. Для неподвижных точек с % = О величина SpA =
2-2лм2)М. Поэтому те из них, для которых m<i (2М/я)1/2, или
оказываются эллиптическими (устойчивыми), а остальные - гиперболическими
с отражением. При меньших скоростях все неподвижные точки становятся
гиперболическими (неустойчивыми), а движение в их окрестности -
стохастическим *). Как видно из табл. 3.1, условия устойчивости для
разных отображений отличаются только численным множителем. Можно показать
[274], что для отображения (3.4.6) условие устойчивости периодических
точек периода k = 2 имеет вид ы2> (яЛ4)|/2, т. е. граница устойчивости по
скорости лежит выше, чем для неподвижных точек
Анализ устойчивости периодических точек с k = 3, 4, 5, . . . становится
все более и более трудным. Однако в случае упрощен-
I Sp А [ = 2 *L <2,
и*
(3.4.15)
или
М1 2.
2
(3.4.16)
coscr = - SpA. 2
(3.4.17)
(3.4.18)
(k = 1).
1) Это не совсем точно, см. рис. 3.18.- Прим. ред.
Отображения и линейная устойчивость
231
ного отображения Либерману и Лихтенбергу [274] удалось получить выражение
для критерия устойчивости при больших k. Они показали, что граница
устойчивости по скорости и лежит тем выше, чем больше величина к. Поэтому
самая нижняя граница устойчивости для неподвижных точек (k = 1)
определяет некоторый важный для динамики переход. Соответствующую
граничную скорость будем обозначать us. Ниже этой границы нет устойчивых
областей
Рис. 3.15. Положение границы стохастичности (черные кружки) и границы
устойчивости us (светлые кружки) в зависимости от М для отображения
(3.4.6) (по численным данным работы [274]).
первичных резонансов. Поэтому стохастические траектории заполняют всю эту
область фазовой плоскости, за исключением небольших островков
