Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
проводимости есть другие нелинейные элементы (а) и пример топологически
одинаковых картинок на плоскости (б)
Чтобы полностью охарактеризовать качественное поведение системы с одной
степенью свободы, не обязательно знать все фазовые траектории. Достаточно
знать только особые: а) состояния равновесия, б) сепаратрис, седел, в)
предельные циклы. Зная их взаимное расположение, мы можем нарисовать на
плоскости фазовый портрет любой динамической системы, если она грубая.
Что значит "грубая динамическая система"? Понятие грубости было впервые
введено А. А. Андроновым и JI. С. Понтрягиным.
Фазовый портрет грубой системы топологически не меняется при малом
изменении параметров системы. Не слишком строго топологическая
тождественность означает, что картина на фазовой плоскости не меняется
качественно, т. е. сохраняются все основные элементы и их взаимосвязи.
Если на фазовой плоскости, например, был предельный цикл, а состояние
равновесия было неустойчиво, то в грубой системе при изменении параметра
остается один цикл и одно неустойчивое состояние равновесия. На рис. 15.4
5 приведены примеры топологически одинаковых фазовых картинок.
Математически понятие грубости для
312
Глава 15
систем двух уравнений первого порядка типа х = Р(х, у), у = Q(x, у) можно
определить таким образом (см., например, [16]): динамическая система
является грубой, если существует такое малое число 6, что все
динамические системы, описываемые уравнениями
х = Р{х, у) + р(х, у), у = Q(x, у) + q{x, у),
в которых аналитические функции у),д(ж, у) удовлетворяют неравенству
|р(х, у)I + \q(x, у)I + \др/дх\ + \др/ду\ + \dq/dx\ + \dq/dy\ < д,
имеют одинаковую структуру разбиения фазовой плоскости на траектории.
Таким образом, понятие грубости вводится как математический образ
свойства качественной неизменности характера движения системы при малом
изменении ее параметров. При некоторых значениях параметров система
перестает быть грубой. Их называют бифуркационными. Бифуркация -
приобретение нового качества движениями динамической системы при малом
изменении ее параметров [17].
15.2. Основные бифуркации на плоскости.
Индексы Пуанкаре
Бифуркация - математический образ, отвечающий перестройке характера
движения физической системы, химической системы и т. д. Математическое
определение бифуркации опирается на понятие топологической
эквивалентности динамических систем. Согласно, например, [17] две системы
топологически эквивалентны, если движения одной из них могут быть сведены
к движениям другой непрерывной заменой координат и времени. Рассмотрим в
качестве примера фазовые портреты на рис. 1.3 и 1.4, которые на первый
взгляд кажутся совершенно различными. Введением новой системы координат
их можно свести один к другому (предоставляем это читателю), т. е.
переход от фазового портрета на рис. 1.3 к фазовому портрету на рис. 1.4
не есть бифуркация, поскольку бифуркация - это переход от одной системы к
топологически неэквивалентной.
У грубых динамических систем на фазовой плоскости могут быть только
простые состояния равновесия типа "фокус", "узел" и "седло" и
притягивающие замкнутые фазовые траектории - устойчивые или неустойчивые
предельные циклы.
15.2. Основные бифуркации на плоскости. Индексы Пуанкаре
313
Рассмотрим простейшие бифуркации автономных систем на фазовой плоскости,
происходящие при изменении параметров системы. Простейшим бифуркациям
соответствуют переходы через так называемые негрубые системы первой
степени негрубости, когда появляется только одна траектория из
запрещенных в грубых системах: а) состояние равновесия седло-узел; б)
сложный фокус; в) сепаратриса, идущая из седла в то же самое седло
(сепаратрисная петля) или в другое седло; г) двойной предельный цикл.
Обсудим эти бифуркации подробнее. Пусть изменение состояния системы
происходит в результате изменения некоторого параметра а. Бифуркационное
значение параметра обозначим через ао- Бифуркация первого типа изображена
на рис. 15.5 а. При значении параметра а < ао в системе существовало два
состояния равновесия-седло и узел. При а = ао они слились, образовав
сложную особую точку седло - узел. При последующем увеличении параметра а
состояние равновесия исчезает.
Бифуркация второго типа представлена на рис. 15.5 6. Состояние равновесия
(фокус) теряет свою устойчивость. При этом рождается устойчивый
предельный цикл.
Третий тип бифуркаций иллюстрируется рис. 15.5 в, г. На рис. 15.5 г из
сепаратрисной петли (а = ао) рождается предельный цикл (а > ао). На рис.
15.5 6 показано рождение двойного цикла из так называемого сгущения
фазовых траекторий. Этот цикл (а = ао) "полуустойчив": внутри цикла все
фазовые траектории удаляются от него, снаружи приближаются.
Итак, чтобы построить портрет динамической системы на фазовой плоскости,
надо знать состояния равновесия, сепаратрисы седел и предельные циклы.
Если варьировать параметры, то всегда можно понять, как будет меняться
