Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
стенка совершает соответственно два, три, четыре и т. д. колебания за
время одного колебания частицы.
Ф Р (и)
Рис. 3.12. Фазовая плоскость (и, тр) и функция распределения Р (и) для
отображения (3.4.4) (по данным работы [274]).
10 траекторий по 163 840 итераций; М = 10. Пунктирная кривая рассчитана
по резонансной теории возмущений.
Между этими целыми резонансами (k = 1) находятся дробные резонансы с &>1.
Так, например, между целыми резонансами М!и = 1 {и = 10) и М1и = 2 (и -
5) расположен резонанс М1и = = 3/2 (и х 6,67), соответствующий трем
колебаниям стенки на два колебания частицы (см. рис. 3.12). Этот резонанс
отделен в свою очередь от целого резонанса другими резонансами с еще
большими k. Число вращения дробных резонансов вблизи края целого
226
Глава 3
резонанса приблизительно совпадает с числом вращения последнего
вследствие линейной зависимости / (ф) в рассматриваемом случае
(3.4.4). По этой же причине внутри целых резонансов нет вторичных
резонансов, а траектории фазовых колебаний мало отличаются от эллипсов
1).
Аналогичное численное моделирование было проведено как для отображения
(3.4.6) (см. рис. 1.14), так и для отображения (3.4.5) (рис. 3.13). В
последнем случае М = 10, а число итераций каждой из 10 траекторий равно
81 920. Размер областей устойчивости при малых скоростях здесь
существенно меньше, чем на рис. 3.12, из-за наличия вторичных резонансов.
Помимо этого, существует
f . р(и)
Рис. 3.13. То же, что и на рис. 3.12 для отображения (3.4.5) (по данным
работы [274]).
10 траекторий по 81 920 итераций.
верхняя граница скорости ц, (граница стохастичности2)), выше которой
сохраняются невозмущенные инвариантные кривые, пересекающие весь интервал
изменения фазы ф. Кажущееся противоречие, что более устойчивое движение
соответствует нелинейной функции / (ф), объясняется тем, что "линейная"
зависимость f (ф) является на самом деле разрывной. Это и приводит к
разрушению инвариантных кривых. Более важно, как показывают результаты
численного моделирования отображения (3.4.5), что для существования
инвариантных кривых необходимо и достаточно, чтобы гамильтониан
(производящая функция) отображения имел две непре-
:) С этим же'связана еще одна'Ъсобенность отображения (3.4.3) -
отсутствие гиперболических неподвижных точек (М > 0) вследствие разрыва
функции / (ip) при ф= 0(1).- Прим. ред.
2) В оригинале используется редко употребляемый термин absolute
barrier (абсолютный барьер).- Прим. перев.
Отображения и линейная устойчивость
227
рывные производные (S=2)1). Действительно, для отображения(3.4.5)
производная df/dty непрерывна, a d2fld\\i2 разрывна и гамильтониан
(3.4.7)
Полученное значение 5 = 2 на единицу меньше лучшей (достаточной) оценки
Мозера [310] для произвольного отображения2).
Ф
Рис. 3.14. Фазовая плоскость отображения Улама с Л4 ='1>25 и v = 2и/М (по
данным работы [38]).
Видна сложная структура регулярных траекторий.
На рис. 3.12 и 1.14 пунктиром показаны сепаратрисы резонансов,
вычисленные из гамильтониана в п. 3.4е. В первом случае сепаратриса имеет
приближенно эллиптическую форму, тогда как на рис. 1.14 явно видна
неустойчивость движения в окрестности
*) Это заключение противоречит оценке (3.2.30) и является спорным.
Ограничение диффузии на рис. 3.13 объясняется, по-видимому, просто ее
малой скоростью на резонансах высоких гармоник. Подобные эффекты
наблюдались неоднократно и при меньших S (см., например, [475, §4.1] и,
[482, § 6], где обсуждается также возможный механизм этого явления).-
Прим. ред.
2) См. примечание редактора на. с. 193.- Прим. ред.
228
Глава 3
сепаратрисы из-за образования вторичных резонансов. Некоторый перекос
резонанса по сравнению с расчетным вызван пренебрежением поворотом
главных осей (см. рис. 3.9, а).
Хотя численные данные на рис. 3.12 и 3.13 хорошо представляют
крупномасштабную структуру фазовой плоскости, они не отражают более
мелкие детали этой структуры. Последние можно выявить, если проводить
численное моделирование с большим количеством начальных условий. Именно
такое исследование было выполнено Брахичем [38] для отображений с
различными / (гр), а также для точного отображения (3.4.1). В последнем
случае1) его результат для М = 1,25 показан на рис. 3.14. При сравнении с
рис. 3.12 следует учесть сдвиг фазы на 1/2. На рис. 3.14 хорошо виден
целый резонанс k = 1 при v = 2,2, а также дробные резонансы с k = 3nk =
2, расположенные соответственно при больших скоростях V. Вблизи целого
резонанса имеется еще и резонанс с k = 6, который деформирует сепаратрису
первого. Резонанс k = 6 связан с небольшой нелинейностью из-за смещения
стенки и зависимости Ни для сдвига фазы. Наконец, в верхней части рис.
3.14 виден вторичный резонанс пятой гармоники, относящийся к целому
первичному резонансу k = 1. Последний похож на вторичные резонансы для
отображения Хенона (см. рис. 3.6).
*3.4в. Периодические точки и их линейная устойчивость
Периодические точки. Рассмотрим периодические точки различных отображений
