Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 83

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 942 >> Следующая

стенки задается выражением xw = aF (ф), где F - четная периодическая
функция фазы ф = со/ с периодом 2л. Тогда получим следующую систему
неявных уравнений, аналогичную (3.4.1):
Чп+1 - un F (фс),
9л+1 - Фс фс = 9Я -
пМ + -Т(ф с)
"л+1
пМ +-^(фе)
(3.4.2а)
(3.4.26)
(3.4.2в)
Ил
Отображения и линейная устойчивость
223
Здесь фс - фаза подвижной стенки в момент столкновения с частицей после
ее ti-то столкновения с неподвижной стенкой, М = = l/2na, a F' - импульс,
получаемый частицей при столкновении. Легко видеть, что скорость частицы
v является канонически сопряженной ее расстоянию х до неподвижной стенки,
а фаза 0 играет роль переменной времени, сопряженной энергии частицы Е =
и2. Это означает, что если в расширенном фазовом пространстве (у, х, - Е,
t) выбрать поверхность сечения х = 0, то для оставшейся пары переменных
(- Е, в) отображение (3.4.2) сохраняет площадь. В самом деле, найдя
якобиан непосредственно из системы (3.4.2), получаем
Упрощенное отображение Улама. Система уравнений (3.4.1) существенно
упрощается, если пренебречь смещением колеблющейся стенки. Такая
упрощенная модель сохраняет наиболее характерные черты физически более
реальной исходной модели и вместе с тем легко обобщается на случай
произвольного закона скорости стенки. Мы проведем сравнение результатов
численных экспериментов для точного и упрощенного отображений.
Каноническими переменными упрощенного отображения являются скорость
частицы перед п-м столкновением с движущейся стенкой и фаза колебаний
стенки. При пилообразном законе изменения скорости стенки отображение
имеет вид
Здесь и = vlV - безразмерная скорость частицы, К/4 - амплитуда скорости
стенки, М = //16а, безразмерное время пролета равно М!и = 21/vT, где Т =
(32 а/К)'/а - период колебаний стенки. В выражении (3.4.4а) стоит
абсолютная величина, тем самым учитывается изменение направления скорости
при и<. 1, которое имеет место в точном отображении (3.4.1). В наиболее
интересной области ">-1 это несущественно.
Упрощенное отображение можно получить и непосредственно из точного
(3.4.1) при На > 1 и а" 1. Упрощенные уравнения легко обобщаются на
случай нелинейной зависимости / (ф) = = - F' (ф) в (3.4.2). Например,
отображение
уд (Еп+1, Qn+i) _ j
(3.4.3)
д{Еп, е")
2
(3.4.4а)
Фя+1 = Фя-|
м
mod 1.
(3.4.46)
ип+1
Мп+1 = |Мд + (2ф"- 1) [1 - (2ф"- I)2] |,
(3.4.5а)
(3.4.56)
ип+1
224
Глава 3
соответствует кубической зависимости, а отображение
"n+i = l"n + sini|5" [,
(3.4.6а)
(3.4.66)
, , I 2лЛ4
Фп+1- Фя I
"п+1
- синусоидальной (аналитической) зависимости. В последнем случае интервал
изменения фазы ф принят равным 2л, а не 1. Все эти отображения сохраняют
фазовую площадь. Нелинейные законы изменения скорости стенки являются
фактически более регулярными, чем "линейный", в том смысле, что для
первых функция / (ф) более гладкая в точке ф = 0. Как отмечалось ранее,
для существования инвариантных кривых, согласно теореме КАМ, необходимо,
чтобы возмущение имело достаточное число непрерывных производных. В
случае пилообразного закона изменения скорости стенки уже само возмущение
(скорость) является разрывным, и поэтому можно думать, что в этом случае
не существует инвариантных кривых, пересекающих весь интервал изменения
фазы ф. Мы увидим, что это и в самом деле так. Более того, по крайней
мере для отображения Ферми мы сможем определить, сколько же непрерывных
производных требуется для применимости теоремы КАМ.
*3.46. Численное моделирование
Современные быстродействующие ЭВМ позволяют получить сотни тысяч итераций
рассмотренных выше отображений. Для исследования всей фазовой плоскости
разобьем интервал фазы (0,1) или (0,2я) на 100 ячеек, а интервал скорости
(0, uMSKC) на 200 ячеек. На рис. 3.12 приведены численные результаты для
упрощенного отображения (3.4.4) с М = 10 после 163 840 итераций для
каждой из 10 траекторий, использованных в счете. На рисунке отмечены
ячейки, в которые попала хотя бы одна из этих траекторий. В правой части
рисунка показано распределение плотности Р (и), проинтегрированное по
фазе и по всем итерациям. Начальные условия движения выбраны случайно в
области малых скоростей частицы. При этом каждая траектория заполняет всю
стохастическую компоненту движения, и конечное распределение на фазовой
плоскости не зависит от начальных условий. Незаполненные траекториями
островки устойчивости ограничены инвариантными кривыми, и поэтому частицы
не могут попасть в них извне. Центрами островков являются эллиптические
точки. Ниже мы покажем, что при
М'/а линеаризованное движение в окрестности всех неподвижных точек
неустойчиво. Это видно и непосредственно из картины фазовой плоскости на
рис. 3.12. Эллиптическая точка при и - М соответствует резонансу 1 : 1
между колебаниями частицы и стенки. При меньших значениях скорости
частицы (М/и = 2,
Отображения и линейная устойчивость
225
3, 4, . . .) расположены целые резонансы 2:1, 3:1, 4:1,..., при которых
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed