Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
столкновения их с движущимися магнитными полями моделируется колебаниями
частицы между неподвижной и осциллирующей стенками. Если фаза колебаний
стенки в момент удара является случайной, то частица в среднем
ускоряется. Более интересен вопрос: может ли стохастическое ускорение
возникать из нелинейной динамики без дополнительного условия о
случайности фазы, например, при периодическом движении стенки. Численное
моделирование последнего случая, проведенное Уламом и сотр. [415],
показало, что движение частицы является, по-видимому, стохастическим, но
ее средняя энергия не возрастает.
Эти результаты Улама были объяснены с помощью аналитических и численных
методов Заславским и Чириковым [443 ] и более полно Брахичем [38 ] и
Либерманом и Лихтенбергом [274 ]. Они показали, что в случае гладкой
зависимости скорости стенки от времени фазовая плоскость движения
разбивается на три различные области: 1) область малых скоростей, в
которой все неподвижные точки неустойчивы, что приводит к стохастическому
движению практически во всей этой области; 2) область промежуточных
скоростей, где внутри стохастической компоненты имеются островки
устойчивости, окружающие эллиптические точки, и 3) область больших
скоростей, в которой стохастические слои в окрестности сепаратрис
изолированы друг от друга инвариантными кривыми, которые пересекают весь
интервал изменения фазы. Именно последняя область и ограничивает набор
энергии частицей. Если же зависимость скорости стенки от времени
недостаточно гладкая, то области 3 не существует в согласии с теорией
КАМ.
Модель ускорения Ферми явилась одной из первых задач по определению
условий существования инвариантных кривых. В сочетании с простотой
численного моделирования на "большие времена" она стала как бы пробным
камнем в понимании динамики нелинейных гамильтоновых систем с двумя
степенями свободы.
Отображения и линейная устойчивость
221
Важно поэтому выяснить, что в этой задаче типично для систем, близких к
интегрируемым, а что зависит от модели. Ниже мы подробно исследуем ряд
таких моделей.
*3.4а. Физические задачи и их модели
В литературе рассматривалось несколько моделей ускорения Ферми, которые
приводят к различным отображениям на поверхности сечения Пуанкаре. Модель
Улама показана на рис. 3.11, а. Точное
НепоЭбцжнпя сгпенка
A
В
=Е?
Осциллирующая стент а
I' t
гЕЕЕ
м,(о
Рис. 3.11. Модели ускорения Ферми.
а - модель Улама: частица совершает колебания между неподвижной и
осциллирующей стенками; б - модель Пустыльникова: частица отражается от
осциллирующей стенки в поле тяжести с ускорением g.
отображение для этой модели исследовано Заславским и Чирико-вым [443] и
Либерманом и Лихтенбергом [274] для пилообразной
зависимости скорости стенки от времени хш (t), Брахичем [38] для
пилообразной и параболической функции хш (/), а Лихтенбергом
и др. [272] в случае произвольной скорости xw(t). "Упрощенное"
отображение для модели Улама, в котором пренебрегается смещением
подвижной стенки, было введено Либерманом и Лихтенбергом] [274 ] и
исследовалось ими для произвольной скорости стенки 1). Пустыльников [339]
исследовал другую модель (рис. 3.11,6), в г которой частица сталкивается
только с одной осциллирующей стенкой и возвращается к ней в постоянном
поле тяжести 2). Здесь также можно ввести упрощенное отображение, которое
приводится к стандартному отображению (см. п. 4.16).
*) В случае пилообразной скорости такое отображение исследовано также в
работе [443].- Прим. ред.
2) Эта модель была введена и исследована Заславским [481, § 2Б].-
Прим. ред.
222
Глава 3
Точное отображение У лама. В случае когда скорость подвижной стенки
задается пилообразной функцией времени, Заславский и Чириков получили
следующую систему точных разностных уравнений движения частицы:
н-п+1 = zbun + ^фл - ) " (3.4.1а)
1
%г+1 = - - 2 ип+1 +
-2 м,
-f- 4ф пип
-и
1 2
^ И-п
п+1
ф"+1= 1--фя + 4ип+1, (^ип+(3.4.1 в)
фл = Фл ¦
фя(1 - Фл) + Ч4а
4"я+1
mod 1. (3.4.1 г)
Здесь а - амплитуда колебаний стенки, I - минимальное расстояние между
стенками, ип - безразмерная скорость частицы (амплитуда скорости стенки
равна 1/4), п - число столкновений с подвижной стенкой, фя - фаза
подвижной стенки в момент столкновения. Фаза ф изменяется от 0 до 1/2 при
движении стенки из положения А в положение В и от 1/2 до 1 при обратном
движении (см. рис. 3.11, а). Знак плюс в выражении (3.4.1а) соответствует
соотношению (3.4.16) на предыдущем шаге, знак минус - соотношению
(3.4.1в).
Хотя уравнения (3.4.1) и является точными, они не сохраняют фазовую
площадь, т. е. переменные и и гр оказываются неканоническими. Чтобы
перейти к каноническим переменным, запишем, следуя Лихтенбергу и др.
[272], разностные уравнения в переменных, относящихся к столкновениям
частицы с неподвижной стенкой. Введем ип = vnl2a>a - новую нормированную
скорость частицы и 0" - фазу подвижной стенки в момент п-го столкновения
частицы с неподвижной стенкой. Будем считать, что движение подвижной
