Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
<->•00
то неустойчивость конвективная.
Естественно, что вид неустойчивости зависит от выбора системы координат.
Если мы движемся вместе с убегающим, растущим во времени возмущением, то
в новой системе координат неустойчивость будет уже не конвективной, а
абсолютной. И наоборот, если в системе с абсолютной неустойчивостью
перейти к новым переменным tH = t, жн = ж - vot, где vo превышает
максимальную скорость распространения возмущений (такой переход,
конечно, возможен не всегда; например, не имеет смысла
переходить в систему координат, движущуюся со
скоростью, большей скорости света), то неустойчивость из абсолютной
превратится в конвективную.
С проблемой разделения абсолютной и конвективной неустойчивости тесно
связана другая, может быть, даже более важная для приложений проблема о
распознавании усиления и непропускания в полу-ограниченных системах,
возбуждаемых сосредоточенным источником. Поясним эту проблему подробнее.
Пусть на границу х - 0 среды, описываемой дисперсионным уравнением D(и>,
к) = 0, подается сигнал. Для простоты будем считать его
1Впервые проблема разделения абсолютной и конвективной неустойчивостей
была поставлена JI. Д. Ландау и Е.М.Лифшицем [19] в связи с анализом
гидродинамической неустойчивости.
Рис. 7.1. Профиль скорости в затопленной струе
7.1. Общие замечания
151
Рис. 7.2. Колебания (в плоскости, перпендикулярной и рисунку) в цепочке
связанных маятников (а); дисперсионная характеристика этой колебательной
системы (б) и затухание колебаний вдоль направления их распространения
(в) [15]
радиоимпульсом с частотой заполнения ui0). Предположим далее, что корни
уравнения D(cj0, к) не действительные, и пусть есть корни и с ImA; < 0, и
с Imfc > 0. Что будет происходить с сигналом по мере распространения его
в среде вдоль оси х1 Казалось бы, поскольку решение имеет вид exp(Imfc:r)
exp(iwot) ехр(-г Re кх) при 1т к > 0, сигнал должен нарастать вдоль х.
Утверждение, вообще говоря, неверно. Например, когда мы пытаемся
возбудить колебания на частоте ы < в цепочке связанных маятников (рис.
7.2а; дисперсионная характеристика этой системы приведена на рис. 7.26),
мы получим не усиление колебаний вдоль оси х. а экспоненциальное
затухание (рис. 7.2в). Колебание не возникает; в среде на закритической
частоте имеет место непропускание, хотя и в этом случае при и> < о>о
имеется корень уравнения D(u>о, к) = 0 с Imfc > 0. В чем же дело? Ответ
заключается в следующем: существование корня уравнения D(cj0, к) = 0,
лежащего в верхней полуплоскости комплексной плоскости к, само по себе
еще не означает усиления. Волна, соответствующая этому корню, может
распространяться влево (Refc < 0), и тогда она будет затухать в
направлении своего распространения (рис. 7.2в). В отличие от аналогичной
задачи о неустойчивости синусоидального решения во времени (в которой
всегда t > 0) здесь оба направления изменения переменной (х) имеют смысл.
В этой главе мы обсудим различные примеры неустойчивых и усиливающих сред
и сравнительно простые критерии, позволяющие отделить усиление от
непропускания и определить, какая неустойчивость реализуется в системе -
абсолютная или конвективная.
152
Глава 7
7.2. Примеры неустойчивостей
Неустойчивость Джинса. Рассмотрим в рамках уравнений гидродинамики
устойчивость покоящегося в пространстве однородного распределения
гравитирующего газа [1]. Линеаризуя на фоне такого стационарного решения
уравнения гидродинамики:
а) + vVp = -pVv,
б) || + (vV)v = -p-'Vp - УФ,
в) ДФ = 4irGp.
где р - плотность, v - скорость, р - давление, Ф - потенциал
гравитационного поля, G - гравитационная постоянная, для одномерных
возмущений плотности получим следующее волновое уравнение:
^-c'^-4"<W = 0. (7.5)
dt2 дх2
Здесь с2 = dp/dp - квадрат изотермической скорости звука. Это
уравнение описывает эволюцию возмущений на фоне стационарного реше-
ния системы (7.4) вида р - ро, v = Vo = 0. Ф = Фо = const. В то же время
при р = Ро Ф = Фо = const не является решением уравнения Пуассона (7.4в).
Однако при анализе устойчивости стационарного решения с Фо = <р{х) вблизи
центра ограниченной области Ф0 = const считается хорошим приближением
[1]. Для возмущений вида р' = р0 exp(iuit - гкх) из (7.5) следует
дисперсионное уравнение
lo2 = к2с2 -4nGp0. (7.6)
Отсюда сразу видно, что при к2 < (4жС/с2)ро однородное распределение
плотности неустойчиво: to2 < 0. На нелинейной стадии процесса это
приводит к возникновению гравитационных "капель" (у нас они одномерные) с
пространственным масштабом А > Акр = \Лгс2/Gpo- Максимальный инкремент
соответствует А -" оо и равен IniWoo = 2у/жGp0-Вид дисперсионных кривых
уравнения (7.6) приведен на рис. 7.3а. Заметим, что закон дисперсии (7.6)
одновременно описывает и волновые возмущения в уже упоминавшейся системе
связанных маятников (в длинноволновом приближении), только в отличие от
рис. 7.2, в этом случае речь идет об устойчивости стационарного
состояния, в котором все маятники "стоят вверх ногами" (рис. 7.3 6).
