Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
крыла самолета - так называемого флаттера.
G F
Рис. 6.8. Схема крыла, на котором указаны несовпадающие центр масс G и
центр кручения F
т I
Полагая, что крыло - это колебательная система с двумя степенями свободы,
одна из которых соответствует изгибным (Х\), а другая
Простейший пример неустойчивости в системе без трения - это неустойчи-
вость шарика на горке. На фазовой плоскости такой неустойчивости,
связанной с "отрицательной энергией" осциллятора, соответствует состояние
равновесия типа "седло".
6.5. Механизмы неустойчивостей
147
крутильным (х2) колебаниям, запишем его уравнения пока в отсутствие
аэродинамических сил [8]:
здесь Ii, 12 - обобщенные моменты инерции при изгибе и кручении
соответственно, к\, к2 характеризуют упругость крыла. Ii2 - момент
инерции, определяющий инерционную связь между колебаниями. Связь эта
зависит от расстояния между центрами масс крыла и кручения (рис. 6.8).
Когда эти центры совпадают, Ii2 обращается в нуль и (6.27) превращается в
систему двух независимых осцилляторов с частотами п\ = ki/Ii. п2 = к2/12•
При наличии связи нормальные частоты изгибно-продольных колебаний крыла
определяются из характеристического уравнения
Они, как мы знаем, будут лежать вне парциальных частот, так как связь
раздвигает частоты. Для крыла в полете уравнения (6.27) дополняются
интегральньми аэродинамическими силами (подъемной силой и силами,
закручивающими крыло):
здесь v - безразмерный параметр, характеризующий скорость полета, a bi и
Ь2 - положительные постоянные, зависящие от геометрии крыла [8]. Всеми
диссипативными эффектами мы пренебрегли (эта система гамильтонова), тем
не менее состояние равновесия x*i = х2 = 0 здесь может быть неустойчивым,
если скорость самолета достаточно велика. Граница неустойчивости
определяется из условия равенства нулю дискриминанта:
Читателю предоставляется самостоятельно определить критическую скорость,
при которой возникает флаттер. Конкретные численные значения параметров
можно найти, например, в книге [8]. Причина неустойчивости, приводящей к
флаттеру, заключается в специфической
I\Xi + /12.Т2 + kiXi - 0, I12xi + 12х2 + к2х2 = 0: (6.27)
(6.28)
148
Глава 6
связи изгибных и крутильных колебаний в потоке воздуха. Фазовые
соотношения, возникающие между этими модами, таковы, что колеблющееся
крыло черпает энергию из набегающего потока воздуха. Введение диссипации
может даже сделать эти фазовые соотношения более оптимальными с точки
зрения отбора энергии у потока и тем самым лишь усилить неустойчивость.
Глава 7
Устойчивость распределенных систем со сплошным спектром
7.1. Общие замечания
Итак, когда речь идет об исследовании устойчивости ограниченных
распределенных систем (резонаторов), задача по сравнению с
соответствующей сосредоточенной усложняется лишь тем, что спектр
комплексных собственных частот оказывается счетным. При этом, перебирая
все возможные пространственные возмущения, т. е. все допустимые
граничными условиями значения волновых чисел кп, мы, определив корни
характеристического уравнения D(u>, кп) = 0, полностью решаем задачу об
устойчивости. Здесь, конечно, могут встретиться трудности, но трудности
технические.
Если же система полуограничена или безгранична, то сама постановка задачи
об устойчивости, вообще говоря, не очевидна и требует дополнительных
размышлений. Действительно, теперь, рассматривая устойчивость возмущений
в интересующей нас области пространства, мы должны решить задачу об
эволюции пространственно-локализованного возмущения - задачу с начальными
условиями
ОО
и(х, t) = ~ j us(k, 0) exp\icjs(k)t - ikx] dk. (7.1)
* -L
где us(k, 0) - пространственный спектр начального возмущения, а
суммирование проводится по всем нормальным волнам. Как поведет себя
возмущение в заданной точке или локализованной области? Ведь
экспоненциальный рост во времени отдельных fc-компонент пространственного
спектра отнюдь не гарантирует временного роста возмущения в этой точке
или области. Действительно, возмущение может, нарастая во времени, просто
покидать рассматриваемую область, убегая из нее. Именно такая "сносовая",
или конвективная, неустойчивость наблюдается, например, в некоторых
сдвиговых гидродинамических те-
150
Глава 7
чениях (в частности, затопленных струях, см. рис. 7.1), а также в
различных электронных системах - лампе бегущей волны (ЛБВ), плазме,
пронизываемой электронным пучком, и т.д.
Если же среди нарастающих возмущений находятся такие, которые не покидают
заданной области, т. е. в каждой точке этой области возмущение растет, то
это уже истинная (в нашем старом понимании) неустойчивость. Такую
неустойчивость называют абсолютной1. Формальные определения,
следовательно, должны быть такими: если
lim и(х, t) -" оо, х ? (х\, Жг), (7-2)
<-ЮО
где и(х, t) - возмущение (х±, Жг - границы интересующей нас области, в
которой имеется неустойчивость), то неустойчивость - абсолютная; если же
lim и(х, t) -> 0, х?(х1,х2), (7.3)
