Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
О 1-1
Легко видеть, что решение x(t) будет ограниченным, если все показатели
экспонент имеют отрицательные действительные части. Следовательно, нужно,
чтобы все корни характеристического полинома соответствующей автономной
системы лежали слева от мнимой оси. Таким образом, для исследования
устойчивости неавтономной системы можно использовать те же критерии, что
и для автономной.
6.5. Механизмы неустойчивостей
Наверное, каждый был свидетелем нарастающих шумов в радиофицированном
зале, возникающих, когда микрофон расположен слишком близко к динамику
либо когда слишком велико усиление. Нарастающий звук свидетельствует о
самовозбуждении системы микрофон -
142
Глава 6
усилитель - динамик, т. е. о ее неустойчивости. Виною этому -
положительная обратная связь. Именно такой механизм лежит в основе работы
большинства генераторов. Рассмотрим его подробнее на примере схемы рис.
6.5в. Обратная связь в этой схеме пропорциональна току, и усиленное
напряжение U(t) = J?RI(t), где Ж - коэффициент усиления по напряжению.
Таким образом, схема описывается уравнением
+ RI(t) + = ЖШ{1).
После элементарных преобразований получим уравнение для заряда на
конденсаторе:
q+^j-q + ^lq = Ж^<1 или q+^q + ulq = о, (6.21)
где Q* = Q/( 1 - Ж), Q = co0L/R - добротность контура, cJq = 1 /LC -
собственная частота контура.
Влияние обратной связи полностью определяется модифицированной
добротностью Q*. Если Ж > 0, то имеет место положительная обратная связь:
величина Q* становится больше Q, что эквивалентно уменьшению потерь в
контуре. При Ж - 1 потери полностью компенсируются положительной обратной
связью, а при Ж > 1 в системе возникает неустойчивость - колебания
экспоненциально возрастают со временем. При отрицательной обратной связи
Ж < 0 имеет место увеличение потерь в контуре и колебания экспоненциально
затухают.
Хотя уравнение (6.21) получено для конкретной схемы, оно описывает любой
гармонический осциллятор с затуханием и обратной связью, пропорциональной
скорости. При не слишком глубокой обратной связи с Ж > 1 рассматриваемой
неустойчивости на фазовой плоскости уравнения (6.21) соответствует
неустойчивый фокус (см. рис. 1.7, где приведено разбиение плоскости
параметров 27 = u>0/Q, на области с разными типами состояний равновесия).
Такого же типа неустойчивость возникает в осцилляторах, зависимость
трения (сопротивления, проводимости) от скорости (тока, напряжения)
которых имеет падающий участок (рис. 6.6).
Поясним образование участка ab на характеристике v = v(E) (рис. б.бв) или
j = j(E) ("падающий" участок на рис. 6.76) для диода Ганна [6]. На рис.
6.7 представлена структура энергетических зон арсе-нида галлия GaAs - -
полупроводника n-типа, который является сейчас наиболее распространенным
материалом для диодов Ганна. В GaAs в
6.5. Механизмы неустойчивостей
143
L
С
а)
/,
и
а
1
V
Е,
'пор
Е
б)
в)
Рис. 6.6. Колебательный контур с элементом R, имеющим отрицательное
сопротивление (а); вольт-амперная характеристика элемента R в случае
туннельного диода (б) и зависимость средней дрейфовой скорости электронов
от напряженности электрического поля в случае диода Ганна (в)
Рис. 6.7. Качественная картина структуры энергетических зон GaAs (fii я я
8000 см2/(В2 - с), fi2 ~ 100-200 см2/(В2 • с)) (а) и пояснение механизма
образования отрицательного дифференциального сопротивления в GaAs в
рамках модели междолинного перехода электронов (j = e(pini + fi2n2)E: ji
= епц\Е\ j2 = епц2Е) (б)
зоне проводимости имеются одна основная нижняя долина и несколько верхних
одинаковых долин, лежащих вдоль направления (100). Электроны в основной
долине имеют подвижность fii, много большую подвижности fi2 электронов в
верхней долине.
При малой напряженности электрического поля в полупроводвике почти все
электроны находятся в нижней долине, поэтому концентрация электронов в
верхней долине Пг = 0, а полная концентрация п
k=0
а)
Еп Етах Е б)
144
Глава 6
равна концентрации пх электронов в нижней долине. Плотность тока через
полупроводник jx = enfixE (рис. 6.7б). Когда напряженность поля
увеличивается настолько, что часть электронов приобретает энергию,
большую AS, они переходят в области с меньшей подвижностью - в верхние
долины. Такой переход начинается со значения напряженности поля Е = Е",
называемой пороговой. При Е = Ет.ЛХ все электроны перейдут в верхние
долины и плотность тока станет j2 = en,fi2E. Если fj,xE" > fJvEtпах, то
jx > j2, т. е. при изменении Е от Еп до Етах плотность тока уменьшается с
ростом поля и описывается соотношением j = е{цхпх + Ц2П2)Е. Таким
образом, в интервале изменения напряженности Еп < Е < Етах на кривой j =
j(E) есть участок, где dj/dE < 0, т. е. участок с отрицательной
дифференциальной проводимостью (отрицательным дифференциальным
сопротивлением). Поскольку dj/dE - д[с(цхпх+ Гь2'П2)Е)1 дЕ, из условия
dj/dE < 0 следует, что
Ш > ?¦ (6-22)
При выводе (6.22) мы использовали равенство dnx/dE = -dn2/dE и
