Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, если все собственные значения различны, то для устойчивости
движения необходимо, чтобы все они лежали на единичной окружности. В
случае же кратных X вопрос об устойчивости более сложен (см. [13]).
Вообще говоря, при этом имеет место так называемая пограничная
устойчивость *).
Теперь мы покажем, что если матрица А симплектическая, то и матрицу X
тоже можно представить в симплектической форме путем умножения ее
столбцов на определенные константы с*. Рассмотрим антисимметричную
матрицу.
S = X • г хт, (3.3.24)
элементы которой
S{j = XfY-x]. (3.3.25)
Из выражений (3,3.9) и (3.3.24) получаем
A-S-AT = S, (3.3.26а)
или
XiXjSij^Sij. (3.3.266)
Значит, 5(/#=0, лишь если ЯД/ = 1. Учитывая соотношение,
(3.3.21), находим, что отличные от нуля элементы матрицы S удовлетворяют
соотношениям
S,-,[+N = -Si+n.a i = l,. . . , А. (3.3.27)
Положив Si, i+N = - 1 и Xt = Cix'i, получаем из (3.3.25)
CiCi+Nxir-T- x't+N = - 1. (3.3.28)
Это уравнение позволяет определять, например c;+N по заданным с,-. Таким
образом, S= Г по построению. Сравнивая (3.3.24) с (3.3.17а),
видим, что матрица X симплектическая. Так как N постоянных ci
можно выбрать произвольно, то построенная матрица X не единственная.
Используя (3.3.176), можно показать, что лг1-Г-лг2 инвариантно по
отношению к симплектическому преобразованию х=Ах, т. е.
л;гГл;2 = л;гГл;2. (3.3.29)
9 Устойчивым является лишь глобальное (нелинейное) движение, в линейном
же приближении по Ах движение в этом случае неустойчиво, хотя jA,| = 1
[см. (3.3.71) и рис. 5.5]. Эта неустойчивость существенна при численном
определении перехода от регулярного движения к хаотическому.- Прим. ред.
212
Глава 3
Это соотношение часто используется как определение симплектиче-ского
преобразования. Положив хх = х, х2 = А- х, найдем, что квадратичная форма
Q = лгт • Г • А • л: (3.3.30)
является инвариантом отображения А.
Только в случае двух степеней свободы, когда для X получается квадратное
уравнение, собственные значения и собственные векторы можно легко найти в
явном виде. Однако именно этот случай соответствует двумерным
отображениям, которые занимают центральное место в нашем анализе
нелинейных колебаний. Что касается большего числа степеней свободы, то
аналитические решения здесь удается получить лишь в некоторых специальных
случаях.
* 3.36. Двумерные отображения
Двумерное отображение задается системой двух разностных уравнений первого
порядка. Выпишем здесь еще раз уравнения (3.1.13) для возмущенного
отображения поворота, положив для упрощения записи е == 1:
JП+1 - jп -|- / (jп+1, 0/г), (3.1.13а)
0П+1 = 0/г + 2л06 (7,г+1) -)-?¦ (Jn+1, 0/г), (3.1.136)
где / и g - периодические по 0 функции с периодом 2я (или иногда для
удобства с периодом единица), а число вращения а = сох/со2 определяет
изменение фазы 0Х (здесь мы опустили индекс 1) на периоде фазы 02.
Поскольку величины а, / и g записаны как функции переменной Jn+1 (а
не /"), то симплектический характер отображения выражается в
форме простого условия сохранения площади
(3.1.16). Отметим, что вовсе не обязательно записывать отображение в
переменных действие-угол, примером служит отображение Хенона (3.2.40).
Периодические точки. Отображение (3 1 13) имеет периодическую точку х0 =
(/", 0О) периода k, если
х0 = Tkx0, (3.3.31)
причем х0 не является периодической точкой меньшего периода. Иначе
говоря, первый возврат в начальную точку происходит ровно через k
итераций отображения. Для любого k существует счетное множество
периодических точек. Они образуют группы,
или периодические траектории {лг01, х02.............лг0*}, где х0,- =
= Т1х01, а длина каждой траектории равна ее периоду k. Система
периодических траекторий имеет иерархическую структуру [164].
Для получения всех периодических точек периода k нужно решить 2k + 2
алгебраических уравнения:
Ji+\ = Ji f (Ji+\i 0f), * = • • • " (3.3.32a)
Отображения и линейная устойчивость
213
Qj+i - 0( "Ь 2ла (Ji+i) -f- g(J(+i, 0;)>
Л+1 = Л, (3.3.326)
0ft+1 = 0X + 2nm, tn = 0,1,. • • ,
где m - целое число взаимно простое с k. За исключением случая k = 1 и,
возможно, k = 2, решать такую систему уравнений очень трудно не только
аналитически, но даже и численно. При больших k простые методы нахождения
корней, вроде метода касательных Ньютона, становятся непригодными ввиду
близости соседних решений в (2k + 2)-мерном пространстве. Специальные
вариационные методы, разработанные для решения этой задачи [116, 179,
183], описаны в § 2.6.
В случае явного отображения поворота, когда / не зависит от J и g = 0,
последовательные подстановки выражений для хс в выражения для х"+1
приводят к уравнениям с двумя неизвестными вида
МЛ, 00 = 0. (3.3.33)
МЛ" 00 = 0-
Но и эти уравнения очень трудно решить при большом k из-за чрезвычайно
сложного характера функций и /2.
Произведение инволюций. Существует важный класс отображений,
периодические точки которых можно найти из уравнения с одним неизвестным.
Если отображение (или соответствующий гамильтониан) обладает симметрией
