Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 789

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 783 784 785 786 787 788 < 789 > 790 791 792 793 794 795 .. 942 >> Следующая

неустойчивости для уравнения р2 + р + А = 0
138
Глава 6
y/vi
R
c4=
a)
6)
Рис. 6.4. Схема цепочки, соответствующей уравнению (6.10) (а) и разбиение
плоскости параметров 7/V, I на области с различным порядком
неустойчивости (б)
сионном уравнении D(ui, к) = 0 к - теперь фактически номер моды (к ~ п),
то из этого уравнения, перебирая п, нетрудно определить границу
устойчивости распределенной системы с дискретным спектром. Приведем
простой пример. Будем считать, что резонатор кольцевой, и рассмотрим его
устойчивость только по отношению к волновым возмущениям,
распространяющимся вправо. Если в среде нет дисперсии и потерь, то из
волнового уравнения ut + vqux - 0 сразу получаем значения частот и>п =
щЪтспЦ. Все частоты действительны, так как все счетное множество корней
характеристического уравнения D(p, п) лежит на мнимой оси плоскости р =
iw. Таким образом, система устойчива по Ляпунову. Если в той же среде
учесть высокочастотные потери, например вязкость, то уравнение бегущей
волны примет вид ut + + voux - vuxx = 0, а характеристическое уравнение
запишется в виде шп = (27г/()(ц0 + ivn ¦ 2ж/1)п. Теперь все корни лежат в
верхней полуплоскости плоскости ш (или в левой полуплоскости плоскости
р). т. е. устойчивость лишь усилилась и стала экспоненциальной.
Введем в среду отрицательную диссипацию, проявляющуюся независимо от
масштабов возмущения. Для определенности будем считать, что такая
неравновесная среда моделируется цепочкой, изображенной на рис. 6.4а.
Уравнение бегущей волны в такой среде запишем в виде
Отыскивая решения и(х, t) = пехр(iwt - ikx) для кольцевого резонато-
щ + ?>оих - иихх - 7U = 0.
(6.10)
6.4. Устойчивость неавтономных систем
139
ра, получаем характеристическое уравнение:
На рис. 6.46 приведено разбиение плоскости параметров 7/ц, I на области с
различным порядком неустойчивости. В коротком резонаторе (I < lKр =
возможна лишь статическая неустойчивость,
так как в правой полуплоскости плоскости р расположен только один корень
- с Imp = 0 (т. е. Row = 0), соответствующий экспоненциальному росту
пространственно однородного поля. При увеличении I > 1кр порядок
неустойчивости растет, однако при любом конечном I число корней в правой
полуплоскости р всегда конечно.
6.4. Устойчивость неавтономных систем
Для неавтономных систем, как уже упоминалось, необходимо исследовать
устойчивость движения, которое происходит под действием внешней силы.
Сделаем это на примере уравнения
Рассмотрим движение с нулевыми начальными условиями:
Применим к (6.11), (6.12) преобразование Лапласа, используя определение
о
где f(t) - оригинал, a F(p) - изображение. Тогда в пространстве
изображений
J7l" JIl-l J
a°lF + ai~dt+ ¦ • •+ an~l~dt + йпХ = ^6'11^
оо
(6.13)
Х(р) = X(p)Y(p)
(6.14)
где согласно (6.13) Х(р) <- x(t), Y(p) <- y(t), Ж(р) = 1/А(р), Д (р) =
аорп + oip"-1 + ... + ап, < знак соответствия между изображением и
оригиналом. Здесь Y(р) - вектор, компоненты которого
140
Глава 6
а) б) в)
Рис. 6.5. Схема, поясняющая уравнение (6.14) (а); блочная схема в случае
двух систем с передаточными функциями Ж\(р), Ж2(р)7 соединенных между
собой (б), и схема колебательной системы с обратной связью U(t) = ЖШ(Ь):
Ж > 0 - положительная обратная связь; Ж = 1 - незатухающие колебания; Ж >
1 - неустойчивость; Ж < 0 - отрицательная обратная связь (в)
означают входные переменные, а Х(р) - вектор, компоненты которого
означают выходные переменные. Функция Ж(р), определяющая связь между
этими векторами, называется передаточной; она зависит от коэффициентов
оо, Oi, ... , о", т. е. от внутренней структуры системы. Соотношение
(6.14) полезно представить в виде схемы (рис. 6.5а). Подобное
представление удобно, когда анализируется несколько соединенных между
собой систем (рис. 6.56), особенно при наличии обратных связей.
Возвращаясь в пространство оригиналов и используя правило соответствия
между сверткой оригиналов и произведением изображений:
t
J fi(r)f2(t - г) dr = /i * /2 F1F2,
о
получаем из (6.13), что
t
x(t) = J k(r)y(t ~ т) dr, где k(t) - Х(р). (6.15)
о
Чтобы найти оригинал для изображения
Ж(р) = (а0рп + aipn~1 + ... + а")-\
разложим Ж{р) на простые дроби. С этой целью определим сначала нули
многочлена Д(р) = аорп + а\рп~1 + ... + ап. Пусть ими будут ад, а2, ... ,
а"; тогда очевидно, что
Д(р) = (р - Ql)(p - а2)... (р - ап). (6.16)
6.5. Механизмы неустойчивостей
141
Допустим, что все а* различны. В этом случае функция
Х(р) = -^ = -^- + -^- + ... + -^- (6.17)
Д (р) Р-ах р-а2 р - ап
имеет простые полюсы при р - ах, р = а2, ... , р = ап. Умножим (6.17)
на р - ах и перейдем в полученном соотношении к пределу
при р -> ax' lim Р ^ = Ах- Но Д(ач) = 0, поэтому А(р)
Al= lim ^гт-7 - lim (Мр) ~ Mm)Y'_ i ЗА
p-yai А(р) р^аi\ р - а 1 J \дах J А'(ах)
Находя аналогичным образом другие коэффициенты, получаем [5]:
Следовательно,
(6Л8>
= (6'19)
Подставляя (6.19) в (6.15), окончательно будем иметь
t
Т)dT- (6-2°)
i н А
Предыдущая << 1 .. 783 784 785 786 787 788 < 789 > 790 791 792 793 794 795 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed