Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
следующему требованию:
Аг > О, Д2 > 0, ... , Дп > 0. (6.8)
Применим этот критерий к исследованию корней уравнения р2 + 27р + ы2 = 0,
которое является характеристическим уравнением для линейного осциллятора
(1.1). Условия (6.8) сводятся к условию положительности коэффициентов 7 >
0 и > 0.
Для уравнения третьего порядка
р3 + ар2 + Ьр + с = 0 (6.9)
одной положительности коэффициентов для устойчивости равновесия
136
Глава 6
уже недостаточно. Действительно, записав определитель Гурвица, найдем
главные миноры: Дх = а, Д2 = ab - с, Д3 = c(ab - с). Все миноры будут
положительными, если ab > с. При невыполнении одного из указанных условий
(положительность коэффициентов, или ab > с) состояние равновесия
неустойчиво. Из табл. 6.1 видно, что характер возникающей неустойчивости
существенно зависит от параметров.
Число "устойчивых" ("неустойчивых") корней определяет размерность так
называемого устойчивого Ws (неустойчивого Wu) многообразия, на котором
вблизи состояния равновесия расположены приближающиеся к нему (уходящие
от него) траектории. Когда эти многообразия двумерны, мы видим на них
привычные нам устойчивые (неустойчивые) узлы или фокусы. Будут на этих
многообразиях узлы или фокусы, зависит от знака дискриминанта
Д(а. Ъ, с) = -а2Ъ2 + 4Ь3 + 4а3с - 18аЪс + 27с3.
При Д < 0 будут узлы; при Д > 0 - фокусы.
6.3. Метод D-разбиений
Критерий Рауса-Гурвица не всегда удобен для определения устойчивости.
Так, для больших значений п приходится проделывать слишком громоздкие
вычисления определителей и, следовательно, трудно записать условие
устойчивости в общем виде. Кроме того, если система неустойчива, то
трудно сказать, сколько имеется корней с положительной действительной
частью, т. е. каков порядок неустойчивости. Хорошо бы иметь критерий,
свободный от этих недостатков, который мог бы быть обобщен на
распределенные системы (левая часть характеристического уравнения которых
не полином, а квазиполином, т.е. полином по ехр<5(р)). Для построения
такого критерия удобен метод Л-разбиений. Он заключается в следующем.
Пусть в характеристическое уравнение входит параметр Л, т.е. Д(А, р) = 0.
Нам надо знать, как при изменении А меняется порядок неустойчивости, т.
е. что происходит с корнями уравнения, как они передвигаются по плоскости
р. Если при изменении А корни не попадают на мнимую ось, то с точки
зрения устойчивости вообще ничего не меняется; если же хотя бы один
корень попал на мнимую ось, то данное значение параметра А будет
критическим, так как дальнейшее малое изменение А может привести к
изменению порядка неустойчивости на единицу. Нам надо связать изменение
параметра А с фактом
6.3. Метод D-раэбиений
137
пересечения корнями мнимой оси. Так как корни характеристического
уравнения комплексные, то удобно считать и Л комплексной величиной. Пусть
на комплексной плоскости р корень пересекает ценимую ось, тогда на
комплексной плоскости Л это соответствует переходу параметра через некую
границу, разделяющую области с различным порядком неустойчивости.
Перебирая все значения р, лежащие на мнимой оси, и сопоставляя им
значения Л, мы построим в плоскости Л границу .D-разбиения, т. е.
границу, разделяющую плоскость параметров на области с разным порядком
неустойчивости.
Для построения этой границы поставим в соответствие точкам плоскости р
точки плоскости Л, т. е. найдем из характеристического уравнения связь Л
= /(/>)• Если р меняется от -оо до +ос, то и Л пробегает некую кривую на
плоскости Л, причем в определенном направлении. Если заштриховать правую
сторону мнимой оси, то и на этой кривой, лежащей на плоскости Л, следует
заштриховать правую по направлению движения сторону. Тогда можно
утверждать, что переход из незаштрихованной области в заштрихованную
увеличивает порядок неустойчивости на единицу. Переход с плоскости р на
плоскость Л соответствует конформному отображению. Для построения такого
конформного отображения необходимо, чтобы можно было разрешить уравнение
Д(А, р) = 0 относительно А, и, кроме того, необходима непрерывность и
дифференцируемость f(p), т. е. функция должна быть голоморфной.
Рассмотрим простейший пример: р2 + р + А = 0. Разрешая это уравнение
относительно А, найдем А = - р2 - р. откуда при р - ш находим А = из2 -
iui.
Следовательно, R.eA = из2, a ImA = -из.
Таким образом, Re А = (ImA)2. Граница области неустойчивости - это
парабола (рис. 6.3). Внутри нее - область устойчивости. Вне - порядок
неустойчивости D( А) =: 1.
Метод D-разбиений можно использовать и в случае, когда число корней
характеристического уравнения счетно. Именно таким, как мы видели в гл.
4, оказывается спектр резонатора без излучения на границах. Если
резонатор одномерный, то спектр волновых чисел всегда эквидистантный: к =
тс п/1 (п = 1, 2, ...) для резонатора с идеальным отражением на концах и
к = 2жп/1 для кольцевого резонатора. Поскольку в диспер-
Рис. 6.3. Разбиение плоскости А на области с разным порядком
