Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 787

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 781 782 783 784 785 786 < 787 > 788 789 790 791 792 793 .. 942 >> Следующая

свободы - осциллятор с малой массой т, уравнение движения которого
получается из уравнения движения линейного осциллятора тх + Ы + кх = 0 (к
и b - коэффициенты упругости и трения), если пренебречь его массой. Тогда
имеем Ъх + кх = 0 или
х + ах = 0. где а=у. (6.4)
о
Решение уравнения (6.4), удовлетворяющее начальному условию x{t0) = хо,
имеет вид х = a;0exp[-a(? - t0)]- Исследуем на устойчивость решение X = х
= 0, используя введенные выше определения. Если к, Ъ > 0, то при t ^ to
выполняется неравенство ехр[-a(t - to)] ^ 1
132
Глава 6
X €
шш
-/п

а)
Рис. 6.2. Графическая интерпретация устойчивых и неустойчивых решений на
примере осциллятора с малой массой (х + ах = 0): а- а = 0, заштрихованная
область - область устойчивости; б - а > 0, заштрихованная область -
область асимптотической устойчивости в целом; в - а < 0, решения выходят
за пределы е-окрестности, заштрихованная область - область неустойчивости
и \х\ = \xq\ехр[-a(t - i0)] < ? (|яо| < ? для всех t ^ t0). Таким
образом, решение X = 0 устойчиво при а ^ 0. В случае а > 0 lim x{t) =
t-*oО
= lim xq exp[-a(t - io)] = 0 для любых to и xo, поэтому решение X = 0
t-?0О
экспоненциально устойчиво.
Когда а < 0, то даже при сколь угодно малых |ж0| решение (6.4) не
удовлетворяет неравенству |ж(?)| < е, если t велико: оно стремится к
бесконечности для любых хо ф 0. Таким образом, решение X = 0 неустойчиво
при а < 0 (рис. 6.2).
6.2. Критерий Рауса-Гурвица и трехмерные системы
Для сосредоточенной системы с постоянными параметрами отклонение
переменных от состояния равновесия удовлетворяет уравнению
" dnx . dn~1x , . dx , _ п r\
°dF df1-1 " '' ~1~dt ~
где все o" действительные и Оц > 0. Нужно исследовать на устойчивость
решение х = 0 уравнения (6.5). Состояние равновесия исходной системы
устойчиво, если х -> 0 при ? -> оо. Будем искать решение (6.5) в виде х =
жоехр(pt) (р - комплексный параметр). Подставляя его в (6.5), получаем
характеристическое уравнение
Д (р) = а0рп + aipn~l + ... + a"-ip + ап = 0, (6.6)
корни которого определяют характер решения.
6.2. Критерий Рауса -Гурвица и трехмерные системы
133
Уравнение (6.6) имеет п корней рт = Rерт + Итрт. Задача об устойчивости
сводится, таким образом, к оценке расположения корней на комплексной
плоскости р. Если все корни расположены в левой полуплоскости (слева от
мнимой оси), то с ростом t отклонение х будет уменьшаться как ехр(-
Repm?), и, следовательно, состояние равновесия экспоненциально устойчиво.
Если имеется хоть один корень в правой полуплоскости, то равновесие
неустойчиво. Важно, что оценку расположения корней можно сделать, не
решая уравнения (6.6). Связь месторасположения корней с коэффициентами
уравнения - это чисто алгебраическая проблема, и известно довольно много
способов оценки действительной части корней характеристического уравнения
по коэффициентам полинома [3, 4]. Наиболее распространенными и удобными
среди них являются критерий Рауса-Гурвица и метод П-разбиений.
Критерий устойчивости Рауса-Гурвица заключается в следующем. Для того
чтобы все корни уравнения (6.6) имели отрицательные действительные части
(Rерт < 0, т. е. все корни многочлена Д(р) лежали слева от мнимой оси),
необходима и достаточна положительность всех главных диагональных миноров
матрицы Гурвица
/ Oi Од 0 0 . . 0 \
а3 а2 01 Оо . 0
05 04 а3 02 . . 0
V 0 0 0 0 .. ап /
(6.7)
Структура матрицы Гурвица такова: по главной диагонали расположены
коэффициенты (от Oi до ап) уравнения (6.6); столбцы содержат поочередно
коэффициенты только с нечетными или только с четными индексами (включая
Оо); все недостающие элементы (коэффициенты с индексами, меньшими нуля
или большими п) заменяются нулями. Главные диагональные миноры матрицы
Гурвица имеют вид
Ai - 0,1, Д2 -
Oi Oi Оо 0
Оо Л
? Дз - аз аь а2 01
а3 а2 а 4 аз
Дп
Oi Оо 0 0 . . 0
а3 02 Oi Оо . 0
05 04 а3 о2 . . 0
0 0 0 0 .. оп
134
Глава 6
Таблица 6.1. Типы состояний равновесия в трехмерном фазовом пространстве
Область в Расположе- Тип Фазовый Размерность
пространстве ние корней состояния портрет устойчивого и
параметров на плоскости равнове- состояния неустойчивого
р = р* + ip" сия равновесия многообразий
р3 + ар2 + Ьр + с = О, Д = -о2Ь2 + 4Ь3 + 4а3с - 18аЬс + 27с3 < О (в этом
случае все корни действительные)
аЪ - с < О, с < О, b > О
Неустойчивый узел
dim W" = 3 dim Ws = О
ab - с > О, с > 0, 6 > О
Устойчивый узел
7ft<
dim Wu = О dim ITs = 3
ab - с < 0, с < 0, 6 > 0 или с > 0, Ь ^ 0
Ж
Р'
Седло
dimlT" = 2 dim IVs = 1
ab - с > 0, с < 0, b > 0 или с < 0, 6^0
Седло
dim Wu = 1 dim ITs = 2
в3 + op2 + bp + с = 0, Д = -a2b2 + 463 + 4o3c - 18abc + 27c3 > 0 (в этом
случае все корни действительные)
ab - с < 0, с < 0, b > 0
ab - с > 0, с > 0, 6 > О
Неустойчивый фокус
Устойчивый фокус
dim Wu = 3 dim IT" = 0
dim ITu = 0 dim ITs = 3
6.2. Критерий Рауса - Гурвица и трехмерные системы
135
Следовательно, критерий устойчивости Рауса - Гурвица сводится к
Предыдущая << 1 .. 781 782 783 784 785 786 < 787 > 788 789 790 791 792 793 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed