Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
электронов и дырок, а также ионизованных атомов, связанных с
кристаллической решеткой. Коллективные колебания в твердотельной плазме
имеют много общего с рассмотренными нами колебаниями газоразрядной плазмы
[18-20].
Глава б
Устойчивость и неустойчивость линеаризованных систем с дискретным
спектром
6.1. Общие замечания и определения
Термины "устойчивость" и "неустойчивость" сейчас имеют столь широкое
хождение, что без дополнительных пояснений не всегда можно понять, о чем
идет речь. Действительно, говорят об устойчивости системы вообще, об
устойчивости ее вполне определенного движения (траектории или решения),
об устойчивости равновесия и т.д. Да и сама устойчивость или
неустойчивость может быть разной. Может быть устойчивость "в большом" -
по отношению к произвольным возмущениям. "в малом" - определяемая
свойствами линеаризованной задачи. Прилагательные при слове
"неустойчивость" обычно характеризуют уже не столько математические ее
особенности, сколько физические механизмы возникновения колебаний (или
волн) - диссипативная неустойчивость, параметрическая, излучательиая и
т.д.
Мы здесь будем заниматься механизмами неустойчивостей и исследованием
устойчивости движения "в малом", т. е. в рамках уравнений, полученных из
исходных с помощью разложения в ряд вблизи интересующего нас решения всех
нелинейных зависимостей и оставления лишь линейных членов (уже
обсуждавшаяся процедура линеаризации). Наиболее важным является
исследование устойчивости, во-первых, статического положения системы, т.
е. состояния равновесия линеаризованной системы с постоянными
коэффициентами, во-вторых, периодических движений системы, малые
отклонения от которых описываются линеаризованными уравнениями с
периодическими коэффициентами. Относительно же устойчивости линейных
систем (а не их решений) дадим пока лишь не вполне строгое определение:
динамическая система, описываемая коэффициентом передачи Ж(р) (р = iu>) и
находящаяся под внешним воздействием Y, называется устойчивой, если малое
изменение внешнего воздействия приводит к малому изме-
130
Глава 6
нению движения системы - координат X (их можно считать выходными
координатами) (рис. 6.1). Для того чтобы это определение стало вполне
строгим, нужно еще определить, в каком смысле мы понимаем малость
возмущения, т. е. нужно определить понятие расстояния между исследуемым и
возмущенным решениями (как говорят математики, определить метрику).
Простейший способ определения расстояния d(xB03M{t), x(t)) - это просто
разность координат по модулю: |а;ВОзМ(1) - x(t)| = d(xB03M(t), x{t)). Им
чаще всего мы и будем пользоваться.
Рис. 6.1. К определению устойчивости: 1 - решение устойчиво; 2 - решение
неустойчиво
Сформулируем теперь различные понятия устойчивости [1] для системы вида
В (6.1) предполагается, что существуют непрерывные производные dfi/dxk
(г, к = 1, 2, ... , п) и есть решение Xi{t) (г = 1, 2, ... , п), которое
при t = t0 удовлетворяет начальным условиям
Решение Xi(t) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ? > 0
существует такое (5(e) > 0, что для всякого решения Xi(t) системы (6.1)
из неравенств
3
Xi - fi(x 1, #2, * . • , Л.п), i 1, 2, ... , Tl.
(6.1)
Xi(t0) = X?, i = 1, 2, ... , n.
6.1. Общие замечания и определения
131
Иными словами, решения, близкие по начальным значениям, остаются близкими
и при t ^ to. Если же при сколь угодно малом <J(e) > 0 хотя бы для одного
Xi(t) неравенство (6.3) не выполняется, то решение Х;(?) называется
неустойчивым.
Часто используют понятие орбитной (или орбитальной) устойчивости. Оно
отличается от устойчивости по Ляпунову тем, что из условия d(x(t0),
X(t0)) < S должно следовать лишь d({x(t)}, X(t)) < е, т. е. не требуется
синхронности в движении по возмущенной и (невозмущенной траекториям.
Здесь {x(t)} означает всю траекторию при t > t0. Нужно лишь, чтобы
возмущенное решение (пусть с отставанием или опережением) не выходило за
пределы е-окрестности невозмущенного. Если при t -> оо расстояние d между
возмущенным и невозмущенным решениями стремится к нулю, то устойчивость
называется асимптотической. Если же, кроме того, d ~ ехр( - at) (а > 0),
начиная с некоторого t > to, то она называется экспоненциальной.
Возвращаясь сейчас к определению устойчивости системы, можно добавить:
система устойчива в малом, если ее состояние равновесия устойчиво по
Ляпунову; система устойчива в большом, если устойчивость состояния
равновесия имеет место для всей конечной области - шара \\х - Х|| < R.
Говорят, что система абсолютно устойчива, если у нее лишь одно состояние
равновесия, асимптотически устойчивое во всем фазовом пространстве;
система глобально асимптотически устойчива, если любая ее траектория
стремится к какому-нибудь состоянию равновесия. Заметим, что понятия,
связанные с устойчивостью системы, наиболее широко употребляются в теории
управления и теории автоматического регулирования [2].
Рассмотрим в качестве самого простого примера систему с 1/2 степени
