Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 784

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 778 779 780 781 782 783 < 784 > 785 786 787 788 789 790 .. 942 >> Следующая

электронов нет; В - область с избытком электронов); б- дисперсионная
кривая из2 = из/
2
а)
б)
Учтем также влияние сил, связанных с перепадом давления в плазме, т. е.
влияние звуковых эффектов. Допустим, что начальное возмущение имеет вид
плоской волны с частотой из и волновым числом к (/' ~ exp[i(uit - кх)}).
Для малых возмущений давление электронной жидкости ре = ро + р',
концентрация пе = по + п', скорость электронной жидкости v = vo + v' (все
возмущенные величины, много меньшие соответствующих невозмущенных).
Давление электронной жидкости представим в виде ре(по + п') = ро +
те(дре/дро)п' (ро = поте - плотность электронного газа) и Vpe =
те(дре/др0)(дп'/дх). При сделанных допущениях из уравнений двухжидкостной
плазменной гидродинамики (5.87), (5.88). (5.91), (5.92) получим следующую
систему:
dv' , dv/_ _ _ Jl_ дре Qn' dip' _ dt 0 дх "о дро дх me дх '
d2<f' Л_ I дп' , dv' , дп' п
= _ + "0_ + ""_ = о.
Подставляя в эти уравнения г/, п' tp' ~ exp[i(uit - кх)}, из условия
совместности получившейся алгебраической системы находим закон дис-
5.6. Волны в плазме. Гидродинамическое описание
123
Персии ленгмюровских волн:
(и> - kvp)2 = Г к2--. (5.93)
Это уравнение при vq = 0 соответствует дисперсионному уравнению w2 = о>о
+ к2/(LC) для цепочки связанных маятников (см. рис. 4.8). Подобное (5.93)
уравнение было получено впервые Ленгмюром, который исходил из аналогии со
звуковыми волнами в воде (5.12). Здесь осталась неизвестной величина
дре/дро. Чтобы замкнуть уравнения гидродинамики, будем считать давление
электронной жидкости изотропным и связанным с коцентрацией уравнением
состояния ре/п< = const, но ре = пквТе, поэтому дре/дро = 7Ре/{пте) (р0 =
теп). Как следует из кинетической теории [14], 7 = 3, т. е. дре/др0 =
2>къТе/те. Уравнение р ~ п3 является уравнением состояния газа в случае
одномерного адиабатического сжатия и может быть получено из
термодинамики. С учетом сказанного из (5.93) окончательно имеем
(ш - V0к)2 =ш2р+ к2. (5.94)
В [12] для модели, в которой газ находится в среде с двумя параллельными
плоскими стенками, расстояние между которыми медленно изменяется,
уравнение р ~ п3 получено из оценочных соображений, основанных на
сохранении адиабатического инварианта v±l = const, где v± - компонента
скорости частицы, перпендикулярная стенке, I - расстояние между стенками.
Попытайтесь рассмотреть эту модель самостоятельно. Формула v±l = const
легко доказывается, если рассмотреть отражение частиц от неподвижной
стенки.
График закона дисперсии для среды из осцилляторов, соответствующий
уравнению (5.94) при по = 0, показан на рис. 5.9. Остановимся более
подробно на анализе (5.93) для различных частных случаев.
Плазменные колебания в "холодной" неподвижной плазме. Дисперсионное
уравнение получается из (5.93) при Те = 0 и vo = 0 и имеет уже известный
нам вид ы2 = ш2 (см. рис. 5.8(5). В "холодной" плазме ленгмюровские
колебания не обладают дисперсией, и, если плазма покоится, они не
распространяются, поскольку кгр = доз/дк - 0. Следует, однако, заметить,
что фазовая скорость отлична от нуля и равна Пф = = ш/k = ojp/k (k -
волновое число плоской волны возмущений).
Плазменные колебания в одномерном "холодном" потоке (vq Ф 0,
124
Глава 5
б)
а)
Рис. 5.9. Закон дисперсии для плазмы, представляющей собой среду с
дисперсией в области низких частот; показана граница по к справедливости
гидродинамической теории (кто <?С 1) (а). Механический (б) и
электрический (е) аналоги волн в плазме (см. (5.94))
Те = 0 ). Из (5.93) находим, что
(и - kvо)2 = Шр.
Рис. 5.10. Дисперсионные кривые для холодного одномерного электронного
потока
(5.95)
Легко видеть, что решением уравнения (5.95) являются широко используемые
в СВЧ-электронике [17] волны пространственного заряда: медленная с к =
w/vQ - Wp/vо и быстрая с к - lo/vo+ujp/v0 (рис. 5.10). Плазменные
колебания в одномерном "холодном" потоке представляют собой только что
рассмотренные ленгмюровские колебания, которые переносятся электронами с
дрейфовой скоростью г>о, причем пгр = дш/дк - = vo- Поэтому волны
пространственного заряда часто называют элек-трокинематическими.
Плазменные колебания в неподвижной "горячей" плазме (Те ф 0, vo = 0).
Перепишем (5.93) при vq = 0 в виде
Ш2 = ш2(1 + ЗА;%),
(5.96)
где го = (къТе/meUjp)1/2 - радиус Дебая (см. (5.85)).
Дисперсионное уравнение (5.96) справедливо только для длинноволновых
возмущений, когда кго -С 1 или го -С А. Электроны смещаются за период
27г/ш на расстояние, меньшее, чем длина волны; сжатие
5.6. Волны в плазме. Гидродинамическое описание
125
должно быть адиабатическим. Напомним, что мы раскладывали правую часть
уравнения состояния в ряд и ограничивались одним членом разложения,
поэтому и дисперсионное уравнение (5.96) имеет вид аналогичного
разложения по малому параметру kro. Учет конечной температуры электронов
в этом приближении дает лишь поправку к теории "холодной" плазмы, Легко
видеть, что цгр = 3o>pfcr|)/(l + 3fc2r|,)1//2, откуда при условии
Предыдущая << 1 .. 778 779 780 781 782 783 < 784 > 785 786 787 788 789 790 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed