Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
в плазме могут быть помимо однозарядных и многозарядные ионы,
концентрации электронов и ионов не обязательно равны. Кроме того, так как
массы электронов и ионов сильно различаются,
120
Глава 5
плазма в общем случае характеризуется двумя температурами - электронной
Те и ионной Т{. Лишь когда средние кинетические энергии электронов и
ионов близки, можно говорить просто о температуре Т плазмы.
Для описания распространения волн малой амплитуды в плазме удобно
использовать модель двухжидкостной гидродинамики, в рамках которой плазма
представляется смесью электронной и ионной жидкостей.
Модель работает, когда характерный пространственный масштаб много больше
длины свободного пробега и характерный временной масштаб (характерная
длительность процессов) tp много больше времени т между двумя
столкновениями. Подобно обычной гидродинамике, для полного описания
плазменной жидкости достаточно задать скорость любого компонента v(x, у,
z, t). плотность п(х. у, z. t) и температуру Т(х, у, z, ?).
Движение единичного объема ионного (индекс г) или электронного (индекс е)
компонента плазмы подчиняется второму закону Ньютона: nitKmi^edvi>e/dt =
где X^F; - сумма сил, действующих на этот
объем. Что это за силы? Если сразу отказаться от учета силы тяжести, то
эти силы следующие (найдем их сначала для ионного компонента). Это,
прежде всего, сила, обусловленная градиентом давления и равная -Vpj. Как
и в обычной гидродинамике, для замыкания системы уравнений плазменной
гидродинамики нужно использовать уравнение состояния, связывающее
давление, плотность и температуру. Давление каждого компонента плазмы с
изотропным распределением заряженных частиц выражается, как и для
идеального газа, уравнением состояния pi!e = п{,еквТ{.е. Используя
уравнение состояния, получим, что - Vpi = -4nikBTi. Поскольку в плазме
существует электрическое поле, то вторая сила, действующая на единичный
ионный объем, - сила со стороны электрического поля, которая для
однозарядных ионов равна -Щ, ебд eV<p. Потенциал электрического поля tp
удовлетворяет уравнению Пуассона
Д tp = -47re(nj - пе), (5.87)
где а - -ее = е. Существование электрического поля приводит к тому, что в
общем случае V,- ф ve, поэтому между компонентами возникает сила трения
Fe.j, которая определяется импульсом, передаваемым в единицу времени
электронами ионам, причем F6j; = - F;i(, [16]. Наконец, если плазма
помещена в магнитное поле, то на единичный
5.6. Волны в плазме. Гидродинамическое описание
121
объем действует еще и сила Лоренца, равная - (l/c)ej,e^i,e[vi,eB].
Расшифровывая слагаемое ^ F; в уравнении движения единичного объема
ионной жидкости, получаем
^6j Ре, г С{ . , оо\
Dl + (viV)v; - ггцщ то7 ^ ~ cm,- (5.88)
По аналогии для электронного компонента имеем 9vc , _ч Vne • ksTe
ее _
$? + (veV)ve - mene ~~ mene ~ cme (5-89)
Уравнения (5.88) и (5.89) - уравнения Эйлера для двух заряженных
взаимопроникающих жидкостей, которые взаимодействуют между собой
благодаря трению и через самосогласованное электрическое поле. Если
плазма сохраняет квазинейтральность и ионы однозарядные, то rii й пе = п.
В этом случае можно перейти к модели одножидкостной гидродинамики, сложив
уравнения (5.88) и (5.89). Тогда, если пренебречь силой Лоренца, получим
= -V[nkB{Ti + Te)], (5.90)
где v = Vi + (me/mi)ve яз Vi- (слагаемые, связанные с силами
"электрического трения" и трения из-за столкновений,
взаимно уничтожились).
Для электронной и ионной жидкостей должны также выполняться уравнения
непрерывности
fill '
+ divniVi = 0, (5.91)
fin
+ divneve = 0. (5.92)
Мы предполагаем, что процессами ионизации и рекомбинации можно
пренебречь.
Плазменные ленгмюровские колебания и волны. Предположим, что все
электроны в тонком слое холодной бесстолкновительной безграничной плазмы
(Те = Т-1 - 0, Fei = Е)е = 0) внезапно смещены вправо так, что между
плоскостями 1 и 2 на рис. 5.8 а электронов нет. Ионы плазмы будем считать
неподвижными. Справа от плоскости 2 будет избыток заряда, что приведет к
возникновению возвращающей силы FB = = -еЕх, обусловленной декомпенсацией
зарядов. Величину Ех мы уже
122
Глава 5
оценивали: если электроны сместились на х', то FB к -4тспе2х'. Эта сила
сообщает им ускорение х = - (Аттпе2 / тпе)х', поэтому движение группы
смещенных электронов описывается уравнением гармонических колебаний с
плазменной частотой изр: х' + из2х' = 0. Такие колебания называются
плазменными или ленгмюровскими колебаниями в "холодной"
бесстолкновительной неподвижной плазме. Опишем их с помощью уравнений
(5.87)-(5.92). Будем полагать, что магнитное поле равно нулю;
столкновениями можно пренебречь; ионы не участвуют в колебаниях и
являются однородным компенсирующим неподвижным фоном (гт > те); плазма
представляет собой одномерный поток электронов, движущийся со скоростью
vo = const в направлении оси х.
Рис. 5.8. К объяснению ленг-мюровских плазменных колебаний: а - все
электроны в тонком слое внезапно смещены вправо (А - область, где
