Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
ИЛИ
Е = 6{р) + pv 4- Mv2 +
Mv2
р = ро + mv,
где М - масса жидкости, Mv2/2 - кинетическая энергия жидкости до
возбуждения. Изменение энергии из-за возникновения квазичастицы 8(р) + pv
должно быть отрицательным (энергия движущейся жидкости должна быть меньше
энергии покоящейся), т. е.
8{р) + pv < 0;
(5.84)
при Т = 0 К возникающая в жидкости квазичастица - фотон, т. е. 8 = = v3Bp
(см. рис. 5.7), и неравенство (5.84) принимает вид v3Bp + pv < 0.
Поскольку величина v3Bp может быть только положительной, последнее
неравенство не удовлетворяется при v < v3B, т. е. появление фонона
запрещают законы сохранения. Но тогда жидкость не замедляется, гелий
течет по капилляру без трения, что соответствует явлению сверхтекучести.
(Подумайте сами, при каком виде кривой 8 = 8(р) условие (5.84) может быть
выполнено, например, для антипараллельных v и р.) Если Т ф 0 К, то в
жидкости уже есть возбуждения, однако проведен-
118
Глава 5
ные выше рассуждения остаются в силе: нужно рассмотреть возбуждение еще
одного фонона, помимо имеющихся. Как и в предыдущем случае, появление
этого нового фонона запретят законы сохранения. Однако уже имеющиеся
квазичастицы будут обмениваться энергией со стенками капилляра. Они и
составляют нормальный вязкий компонент в двухжидкостной модели.
Сверхтекучий компонент - другое движение в квантовой жидкости - не
проявляет вязкости. Подробный анализ случая Т ф О К изложен в § 23 книги
[11]. Заметим, что сверхтекучесть в какой-то мере аналогична
сверхпроводимости: заряженная электронная жидкость в сверхпроводниках
течет сквозь кристаллическую решетку без "трения" (она не обменивается с
решеткой энергией и, следовательно, не испытывает сопротивления).
5.6. Волны в плазме. Гидродинамическое описание
Основные уравнения. Как известно [12, 14], совокупность свободно
движущихся разноименно заряженных частиц (ионизованный газ) называется
плазмой, если дебаевский радиус мал по сравнению с размерами объема,
занимаемого газом.
Напомним физический смысл радиуса Дебая. Плазму можно рассматривать как
смесь трех компонентов - свободных электронов, положительных ионов и
нейтральных атомов или молекул. Квазинейтральность плазмы, т. е.
приблизительное равенство плотностей электронов и ионов, определяется
электрическими силами, которые связывают отрицательные и положительные
заряды в плазме. При смещении группы электронов относительно ионов, т. е.
при разделении зарядов, возникают электрические поля, стремящиеся
восстановить квазиней-тралыюсть.
Пусть в каком-то объеме после возмущения остались заряды одного знака,
что соответствует полному разделению зарядов. Если объемная плотность
заряда р = пе (п - концентрация частиц, е - заряд частицы), то поле в
выделенной области удовлетворяет уравнению divE = 4лр. Очевидно, что для
области с линейными размерами порядка х имеем divE ~ Е/х ~ 4ттпе и Е ~
4тгпех, что соответствует изменению потенциала плазмы в области
разделения зарядов на величину V ~ Ех ~ 4жпех2. Если разность потенциалов
V велика, то разделения зарядов не будет: сильное поле вытолкнет из
объема, где нарушена квазинейтральность, частицы с зарядом одного знака и
втянет частицы другого знака. Что будет, если выделенный в плазме объем
5.6. Волны в плазме. Гидродинамическое описание
119
мал настолько, что поле, созданное избытком в нем частиц одного знака,
слабо и не может существенно изменить движение частиц? В таком объеме,
для которого х < го {то - характерный линейный размер), при заданных
концентрации и температуре плазмы возможно нарушение квазинейтральности
плазмы. Оценим го-
Если в области с линейным размером порядка го произошло полное разделение
зарядов, то потенциальная энергия заряженной частицы имеет порядок
тепловой энергии частиц, т. е. W" = eV ~ 47гne2r2D ~ кБТ (кц - постоянная
Больцмана. Т - температура плазмы, которая пока принята одинаковой для
электронного и ионного компонентов). Таким образом,
TD
кБТ
3 1/2
47гие2
(I)
1/2
(5.85)
Эту величину называют радиусом экранирования. Дело в том, что при
введении в плазму пробного точечного заряда вокруг него образуется
область сильного электрического поля, ограниченная сферой, радиус которой
равен го (радиус Дебая, или дебаевская длина). Таким образом, радиус
Дебая - это характерный пространственный масштаб областей декомпенсации
плазмы, а рассматриваемому нами случаю соответствует условие х rjj- Время
t, в течение которого сохраняются области декоменсапии, пропорционально
ro/ve. где скорость ve электронов (наиболее быстрых частиц) определяется
из соотношения mev2/2 ~ кБТ (те - масса электрона). Тогда характерный
временной масштаб декомпенсации плазмы
t
Г кБТ ] 1/2 '2кБТ\ 1/2 !Пе 1/2
_4ппе2 v ) ~ _4ппе2.
Замечательно, что это время от температуры уже не зависит.
Соответствующая этому времени частота
( Аппе2 V те
1/2
(5.86)
называется плазменной.
Сделаем еще два замечания о концентрации и температуре плазмы. Поскольку
