Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
сверхтекучий и нормальный компоненты колеблются в противофазе; таким
образом, суммарного потока вещества нет, поскольку скорость v центра масс
компонентов близка к нулю (в то же время существует относительное
движение сверхтекучего и нормального компонентов). Если вспомнить, что
сверхтекучий компонент не переносит тепла, то становится понятным, что
волны "второго звука" связаны с колебаниями температуры, а не плотности
(в этом смысле показательно то. что в волновом уравнении для "второго
звука" переменной является Т'). Уникальность Hell в том, что в нем
существуют температурные волны, т. е. обратимые температурные возмущения,
в отличие от необратимого распространения таких возмущений путем
теплопроводности в других веществах. Следует заметить, что по отдельности
оба компонента жидкого гелия испытывают сжатия и разрежения. Такие сжатия
и разрежения сверхтекучего компонента, который, как уже говорилось, не
переносит энтропия, сопровождаются обратимыми увеличениями и уменьшениями
температуры. Сила, противодействующая этим изменениям, т. е. возвращающая
сила, связана с градиентом химического потенциала (он вызван изменением
температуры без изменения давления). Из уравнения движения для
сверхтекучего компонента d\s/dt = - V/x следует, что градиент химического
1 Здесь и далее F' - малое возмущение равновесного значения Fo переменной
величины F\ индекс 0 опущен.
116
Глава 5
потенциала вызывает ускорение этого компонента, противодействующее
сжатиям и разрежениям.
В заключение отметим, что макроскопическая двухжидкостная модель, будучи
классической, не в состоянии дать полного описания гелия, который
является квантовой жидкостью, т. е. макроскопическим веществом с
поведением, подчиняющимся квантовым законам [11]. С точки зрения
классической физики при низких температурах ионы в кристалле (простейшие
модели рассмотрены в гл. 4) совершают малые колебания около положения
равновесия (при Т = О К они вообще неподвижны). что и определяет
упорядоченность твердого тела. Но гелий остается жидким до таких низких
температур (0-2К), при которых длина волны де Бройля, которая определяет
тепловое движение атомов в жидкости, имеет порядок величины расстояния
между атомами, т. е. существенны только квантовые явления. Таким образом,
гелий и не обязан затвердевать (вспомним, что квантовомеханический
осциллятор даже в основном состоянии имеет энергию ? = Нш/2 и совершает
"нулевые" колебания; см. гл. 1). Такое поведение гелия связано с тем, что
его атомы слабо взаимодействуют, а энергия "нулевых" колебаний
сравнительна велика. В основе теории квантовых жидкостей лежит концепция
об элементарных возбуждениях - квазичастицах (гл. 4).
В 1947 г. JI. Д. Ландау на основе анализа экспериментальных данных
предложил закон дисперсии квазичастиц (зависимость энергии ? от импульса
р), графически представленный на рис. 5.7. Начальный линейный участок
кривой соответствует звуковым квантам - фоно-нам. Далее с ростом p/h
функция ?{р) достигает максимума, после чего убывает и при некотором р-ро
проходит через минимум, в котором ?{р) = А(ро). С точностью до членов
второго порядка малости область кривой вблизи ро/h можно аппроксимировать
функцией ?(р) = А + (р - ро)2/пГ. Квазичастицы, соответствующие этой
области импульсов и энергии ? - А + (р - ро)2/тп*, были названы ротонами
(то* - эффективная масса ротона, Д - его минимальная энергия). В тепловом
равновесии возбуждение фононов и ротонов определяет термодинамическое
поведение жидкого гелия, поскольку эти квазичастицы имеют энергии вблизи
минимумов функций ? = ?(р) (фононы - вблизи (э=0. ротоны - вблизи ? = Д).
Таким образом, оба сорта квазичастиц описывают разные участки кривой ? =
?{р), между которыми есть непрерывный переход, т. е. и фононы, и ротоны
относятся к одному физическому объекту - квантовой жидкости Hell. Именно
существование описанного энергетического спектра позволило Л. Д.Ландау
объяснить явление сверхтекучести (см. [9, 11]).
5.5. Волны в сверхтекучей жидкости
117
В чем проявляется наличие вязкости, если жидкость течет по капилляру со
скоростью v при Т - О К? В потере кинетической энергии жидкости и,
следовательно, в уменьшении скорости потока. В системе координат,
движущейся с жидкостью, гелий неподвижен, а капилляр движется со
скоростью v; при наличии вязкости гелий в этой системе координат должен
двигаться, причем движение начинается с появлением элементарных
возбуждений. Пусть возникла одна квазичастица с энергией 8(р) и импульсом
р. Это приводит к тому, что в движущейся системе координат (в ней гелий
покоился) энергия жидкости Е станет равной 8(р), а ее импульс ро = р. В
неподвижной системе координат (в ней покоится капилляр) согласно формулам
механики для преобразования энергии и импульса имеем
Рис. 5.7. Закон дисперсии элементарных возбуждений в жидком гелии: 1 и 2
- ветви, соответствующие возбуждению фононов и ротонов
Mi)2
Е = Е0 + p0v Н----------------, p = p0 + Mv,
