Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
3.3а. Собственные значения и собственные векторы
Обозначив для простоты х = (р, q) = Ахп и х = (/>, q) == Axn+k, перепишем
линеаризованное уравнение ДПмерного отображения
(3.3.3) в виде
где А - матрица М X М, не зависящая от х. Предположим, что ранг матрицы
равен М, следовательно, det А ф 0. Собственным
1) По-видимому, имеются в виду скорее наглядные представления на основе
рис. 3.3.- Прим. ред.
2) Это справедливо лишь при дополнительных условиях, в частности
указанных в примечании авторов ниже (см. примечание редактора на с.
191).- Прим. ред.
3) Особыми случаями являются числа вращения а = 1/3; 1/4.
(3.3.2)
AXn^-k - А 'А Хп,
(3.3.3)
х = Ах,
(3.3.4)
208
Глава 3
значением системы (3.3.4) является постоянная, входящая в уравнение
Ах - Хх, (3.3,5)
так что некоторый вектор х остается неизменным с точностью до множителя.
Из (3.3.5) следует, что X удовлетворяет характеристическому уравнению
det (А - Я1) = 0,' (3.3.6)
где I - единичная матрица. Это - алгебраическое уравнение М-то порядка,
имеющее М корней. Каждое собственное значение соответствует нормальной
моде колебаний, или фундаментальному решению. Из (3.3.5) следует также,
что для устойчивости колебаний lim Хп должен быть ограничен г). Векторы
Xk, соответст-
П-*-оо
вующие значениям Я*, называются собственными векторами, или нормальными
колебаниями. Эти векторы можно найти, решая однородную систему уравнений
В-хк= J^bijXjk = 0, (3.3.7)
/
где В (Я*) = А -Я*!. Если все собственные значения А различны, решение
можно получить следующим образом. Перенесем члены с / = / в правую часть
уравнений (3.3.7) и опустим уравнение с i = I. Положим Xik = CkBu, где с*
- произвольная постоянная, а ВцФ 0 - алгебраическое дополнение элемента
Ьц матрицы В. Получившуюся таким образом неоднородную систему М-1
уравнений решаем стандартным методом Крамера и получаем
xik - СкВц', /=1, . . . , М" (3.3.8)
Поскольку ранг матрицы В равен (М-1), то по крайней мере одно В и ф 0. В
случае совпадающих собственных значений метод решения остается таким же,
но некоторые из векторов дг* будут зависеть от нескольких произвольных
постоянных.
Рассмотрим матрицу X, столбцы которой составлены из компонент разных
собственных векторов Xk• Если, кроме того, все собственные значения
различны 2), то из (3.3.5) находим
А X = Х Л, (3.3.9)
где А - диагональная матрица с элементами Ац = Xi. Отсюда
Л = Х-1-АХ, (3.3.10)
9 Это справедливо, вообще говоря, лишь в том случае, когда матрица А не
зависит от д:0 (см. ниже п. 3.36, З.Зв, 5.26 и работу [55)].- Прим. ред.
2) Случай совпадающих собственных значений см. в [13] или в любом
учебнике по линейной алгебре.
Отображения и линейная устойчивость
209
т. е. X диагонализует А. Введем новые векторы
uk - Xrixk\ х* = Хв*. (3.3.11)
Из (3.3.5) получаем
A'Uk = hUk, (3.3.12)
т. е. в* являются собственными векторами матрицы Л и из них можно
образовать ортонормированный базис е*.
Симметрия собственных значений. Если преобразование, задаваемое А,
является каноническим, то М равно четному числу 2N и выполняются
следующие соотношения для скобок Пуассона:
[й!, <7/] = [Pi, Pi] = °, (3.3.13)
[<??, Pi] = t. 1 = 1..W.
Введем 2Л/-мерную антисимметричную матрицу
/0 -
г=(, о )• (3-3-14>
каждый элемент которой есть блок N х N; Гт = Г-1 = - Г, (Т означает
транспонирование) и det Г = 1. Тогда соотношения
(3.3.13) можно записать в виде
[х(-, х/] = ^ aikYkflu == Г,7, (3.3.15)
к. I
где
aik = dxjdxk. (3.3.16)
Из (3.3.15) следует, что в рассматриваемом случае не все элементы матрицы
А независимы. В матричной форме имеем
А Г АТ = Г (3.3.17а)
или
Ат • Г • А = Г. (3.3.176)
Матрица, удовлетворяющая этому условию, называется симплек-тической.
Покажем, что если X - собственное значение матрицы А, то 1/7 также
является ее собственным значением. Поскольку собственные значения
произвольной матрицы не изменяются при транспонировании, то из (3.3.5)
имеем
А г-у^Ху, (3.3.18)
или
(Ат)-1-у=~у>. (3.3.19)
210
Глава 3
Из (3.3.17а) получаем
А-(Г^)=-^(Г.у). (3.3.20)
Значит, 1А тоже является собственным значением матрицы А с собственным
вектором х = Г-_у. Отсюда
ki+N = k~\ i = 1.............N. (3.3.21)
lm X
Так как матрица А вещественная, то комплексные собственные значения
появляются только в виде комплексно сопряженных пар. Если же к
комплексная величина и | к | Ф 1, то собственные значения образуют
четверки:
к, к*, 1 !к, 1/к*,
симметричные относительно вещественной оси и единичной окружности (рис.
3.8). В случае 1ш к = 0 собственные значения к, 1/к лежат на вещественной
оси. При j А,| Ф 1 движение всегда неустойчиво. Если же |Я| = 1, то
собственные значения к и к* = 1А лежат на единичной окружности и движение
устойчиво.
Легко показать, что из симметрии собственных значений следует, что
характеристическое уравнение (3.3.6) можно записать в виде
kN + a-jkN~1 + . . . +a2iV_A+l=0
(3.3.22)
Отображения и линейная устойчивость
211
с симметричными коэффициентами:
- 1> ^2= 2i • • • (3.3.23)
