Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения (5.76) имеет вид плоских волн Vy = Vyo ехр[-г(кхх + куу)}, то
дисперсионное уравнение получается таким:
+ ку -
?. 2иj
4efl2 sin2 <ро ¦
(5.77)
Параметр разделения е находится как собственное значение системы
уравнений (5.73) с граничными условиями (5.27) и (5.28); эти уравнения и
условия легко переписать в виде
d2V(z) 2 Л N2\ \ п
- ей | 1------- I y{z) = 0,
dz2
V{z)\z = -H =
и
gV{z)
= 0.
(5.78)
(5.79)
z=0
Если положить е = ?2/и>2, то (5.78) совпадает с уравнением (5.60) для
внутренних волн, а (5.79) - с граничным условием (5.40). Из
соответствующих соотношений для волноводных волн (из второго соотношения
(5.63) и (5.66), а также (5.67)) имеем для моды п = 0, которая называется
"баротропной":
?о = (gH)~\ (5.80)
для мод более высоких порядков п, называемых "бароклинными",
(ЖП)2 I дг2 . ,2ч-1
?п -
я2
{N2 - UJ2)
п = ±1, ±2,..,
(5.81)
Проанализируем подробнее дисперсионное уравнение (5.77). Для того чтобы
кх и ку были вещественными, необходима положительность правой части
(5.77), т. е. должно выполняться условие (3/2ш > 2i/if2 sintpo, которое с
учетом определения (5.71) удобно переписать как
tgГо < (2аи?1/2) г.
(5.82)
5.5. Волны в сверхтекучей жидкости
111
Если задана широта места <р0, то волны Россби существуют для частот ш <
сокр, где критическая частота определяется формулой wKp = (2ae1/2tg<p0) 1
(в частности, для "баротропной" моды из (5.80) следует, что о>кр =
(gH)1/2(2atg9?0)-1). Когда ш и (ро далеки от критических значений, в
дисперсионном уравнении (5.77) можно пренебречь последним слагаемым.
Предполагается, что ш > 0. В этом случае закон дисперсии волн Россби
имеет вид
кх(3 К + К'
(5.83)
Из этого уравнения видно, что оно удовлетворяется лишь при кх < 0 (как и
уравнение (5.77)). Это означает, что волны Россби распространяются только
с востока на запад. Последнее подтверждается наблюдениями над
синоптическими вихрями там, где средние течения океана слабые [4].
5.5. Волны в сверхтекучей жидкости
Говоря о гидродинамике сверхтекучей жидкости, будем иметь в виду
гидродинамику Hell без учета эффектов диссипации.
Гелий, став жидким при 4,2 К, не затвердевает при атмосферном давления
вплоть до абсолютного нуля температуры. Однако при температуре Т и 2,19 К
происходит фазовый переход и гелий обнаруживает в новой жидкой фазе
совсем иные, чем ранее, свойства. В частности, вблизи указанной
температуры (Л-точки) имеет место аномальное поведение теплоемкости в
зависимости от температуры. Как указано на рис. 5.4, в интервале
температур от 4,2 до 2,17 К гелий находится в одной фазе, где он ведет
себя как обычная жидкость (Не1), а при переходе через Л-точку в более
низкотемпературную область - в другой фазе (Hell) и характеризуется рядом
удивительных свойств.
В 1938 г. П. J1. Капица открыл явление сверхтекучести Не II, состоящее в
том, что Hell протекал по узким капиллярам (диаметр которых около 10~4см)
так, как будто для него полностью отсутствует
Рис. 5.4. Зависимость теплоемкости гелия от температуры при атмосферном
давлении
112
Глава 5
вязкость т): при переходе через A-точку т) неи < 10_12Па-с, в то время
как ^ Не I ~ 10~6Па-с. Основываясь на результате эксперимента Капицы,
можно было ожидать, что гидродинамика Hell есть гидродинамика идеальной
классической жидкости, поведение которой описывается уравнениями Эйлера.
Однако в ряде экспериментов было выяснено, что это не так; например,
метод измерения вязкости, основанный на исследовании крутильных колебаний
диска, помещенного в жидкость, давал для щец значение, мало отличающееся
от туне!- Налицо был парадокс вязкости: в одних экспериментах Hell вел
себя как сверхтекучая жидкость без вязкости, в других - как нормальная
жидкость с конечной вязкостью, хотя обычно оба метода измерения вязкости
давали одинаковый результат. Более того, некоторые динамические свойства
Не II нельзя было описать в рамках уравнений Эйлера даже тогда, когда
наверняка внутренним трением можно пренебречь (эффект фонтанирования,
механокалорический эффект, см. рис. 5.5).
б)
Рис. 5.5. Схемы опытов, демонстрирующих необычные динамические свойства
жидкого гелия: а - эффект фонтанирования при освещении лучами 2 трубки,
заполненной наждачным порошком 3 и помещенной в гелиевую ванну 1; из
верхнего конца трубки бьет фонтан 4 жидкого гелия; б - механокалорический
эффект при быстром вытекании жидкого гелия из сосуда 1 температура внутри
сосуда повышается (при обратном процессе понижается); 2 - измеритель
температуры; 3 - спрессованный порошок
В 1941 г. Капица поставил опыт (рис. 5.6), в котором в НеII погружался
маленький сосуд с нагревателем и термопарой, частично заполненный Hell и
сообщающийся с большим объемом через узкий капилляр. При включении
нагревателя выделяется тепло (поток тепла вытекает из внутреннего сосуда
во внешний) и из капилляра бьет фонтанчик
5.5. Волны в сверхтекучей жидкости 113
гелия, который фиксируется по отклонению листочка крутильных весов.
