Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
и) < N имеет порядок величины (иН)-1, которая много больше единицы.
Переписывая (5.65) в виде ctg(kzH)/(kzH) = g/[H(N2 - - lj2)] ~ (uH)~l 1,
находим, что корни дисперсионного уравнения достаточно близки к
Полученный для внутренних волн закон дисперсии - это типичный закон
дисперсии для многомодового волновода (рис. 5.3).
Когда N зависит от z, возможны и более сложные законы дисперсии [24]. Как
отмечается в [3]. решения уравнения (5.60) с граничными условиями (5.40)
при N = N(z) описывают волны, одна из которых близка к поверхностной,
поскольку максимум V{z) достигается при 2 = 0, и, кроме того, набор
внутренних волн, у которых максимумы расположены внутри интервалов 0 < z
< Н.
Остановимся кратко на гироскопических (инерционных) волнах, закон
дисперсии для которых можно получить из уравнений (5.32) и (5.33) для
однородной (N = 0) несжимаемой (с -> оо) жидкости. Эти волны характерны
для океана - они связаны с вращением Земли.
Для решений вида У{г). &{z) ~ exp(±i/cz2) после простых, но громоздких
преобразований получаем (см. [3])
kzH ss 7гп (п = ±1, ±2,...)
или с учетом второго соотношения из (5.63)
Г 1"1/2
(5.67)
(5.68)
или oj = 2gfLcos6 (р = ±1), (5.69)
где в - угол между Ник; значение р выбирается из условия р, cos в > 0. Из
(5.69) следует, что, поскольку для данной частоты угол в вполне
108
Глава 5
определенный, длина волны может быть любой, как и для внутренних волн.
Если N = const и ft ф 0, то возникают так называемые гравитационно-
гироскопические волны, закон дисперсии для которых, как показано в [3],
имеет вид из2 = N2 sin к + 4ft2 cos2(kO), - угол между к и положительным
направлением оси z.
Волноводная задача для инерционных волн на мелкой воде в пренебрежении
членом kyfty (это можно сделать, если ky kz т. е. если масштаб изменения
величин в направлении 2 много меньше длины волны в ^-направлении)
приводит к дисперсионному уравнению и>2 = i2gH + 4П2. Когда flz -> 0,
получаем длинные гравитационные волны (ш = ?,/gH). Таким образом,
вращение Земли приводит к появлению дисперсии у длинных гравитационных
волн.
Волны Россби могут быть исследованы в рамках тех же общих уравнений
(5.20)-(5.23), но в приближении, когда dfl/dy - (3 = const (приближение
/1-плоскости; см. [22], с. 35). Прежде чем обсудить свойства этих волн,
заметим, что они весьма важные при изучении синоптических океанических
вихрей [3, 4]. Эти вихри подобны циклонам и антициклонам в атмосфере
(отсюда термин "синоптические"). Понимание их динамики в связи с
процессами взаимодействия океана и атмосферы очень важно для построения
корректной математической модели циркуляции атмосферы, а следовательно,
обеспечения верного, хотя и сравнительно краткосрочного, предсказания
погоды.
Линейные модели распространения волн Россби оказываются полезными лри
описании среднего дрейфа синоптических вихрей [4].
Традиционным приближением для получения волн Россби является допущение о
том, что kz 3> ку. Оно и позволяет отбросить в уравнениях члены,
содержащие горизонтальную составляющую вектора ft, т. е. слагаемые,
содержащие s. Главным условием существования этих волн является изменение
вертикальной составляющей flz с широтой tp, т. е. изменение с широтой
горизонтальной составляющей силы Кориолиса. Для того чтобы учесть это,
разложим q = (2/ш)С1 sin <р в ряд по степеням у/а в точке <р ~ ро =
(рх=о,у=0 и ограничимся двумя членами разложения. Очевидно, что q =
q(<fio) + dq/d(p\v~voAp = (2fl/ш) sintpo + 4- {2 ft/ш) costpoAtp, = у/а-,
гДе a - радиус Земли. Окончательно получаем
(5.70)
(5.71)
5.4. Гравитационные волны в несжимаемой жидкости
109
Учет члена /Зу в выражении (5.70) называют учетом /3-эффекта. Предполагая
еще, что с ->¦ оо, с учетом сделанных допущений перепишем систему
уравнений (5.20)-(5.23) следующим образом:
I/ • Т/ - 1^* V _ • V -
Vx + iqVy - ш дх , Vy tqVx - ш ду-9&{z) , _ 2 дг2 \
dz
+ р00(ш2 -N2yV(z)=0,
i dv(z) _ j dvx avn i
^°° ?^(2:) w дх ду J Vz'
Мы уже говорили, что в такой системе уравнений возможно разделение
переменных (см. §5.2). В последнем уравнении правая часть может
зависеть только от х. а левая - от z. Вводя параметр разделения
е
и приравнивая ему обе части последнего уравнения системы, получим
окончательно
т/_ь-т т, _ ¦ v - cl/
х +14 у ~ и дх '' у щ х ~ и ду 7 дх + ду г'
(5.72)
Щг + 7Ш,^ = 0-' (5.73)
Продифференцируем первое уравнение в (5.72) по у, второе по х и вычтем
одно из другого, учитывая, что dqjdy = /З/ш. Используя в получившемся
уравнении третье из (5.72), находим
+ (5.74)
Дифференцируя третье уравнение из (5.72) по у и используя второе
уравнение, будем иметь
-±+ш2еУу = + iqul2eVx. (5.75)
Выражение для d2Vx/dxdy легко найти, взяв производную по у от (5.74).
Подставив получившееся соотношение для d2Vx/dxdy в (5.75) и используя
первое уравнение из (5.72), удается исключить из системы (5.72) Vx и Vz.
110
Глава 5
Уравнение для Уу имеет вид
Vy=0.
(5.76)
Предположим, что и " Q и q2 " 1, т. е. 1 - q2 к - q2. Если решение
