Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 777

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 771 772 773 774 775 776 < 777 > 778 779 780 781 782 783 .. 942 >> Следующая

дх2 \дг
0.
(5.57)
Поскольку Ф и Bi exp(fcz)-exp(iwl - г/гх), из (5.57) получаем следующее
уравнение для капиллярных волн:
а 1.3
- У-к
~ рк
(5.58)
Таким образом, Сз в (5.52) равно л/2ж. Если одновременно учесть действие
на жидкость обеих возвращающих сил - и силы тяжести, и силы
поверхностного натяжения, - то в предположении, что Ф = Ф(х, z, t), для
жидкости, глубина которой равна Н. мы получим дисперсионное уравнение
kg +
ак
th(kH).
(5.59)
Рис. 5.1. К определению силы поверхностного натяжения для поверхности с
отрицательной кривизной
Это уравнение дает закон дисперсии для гравитационно-капиллярных волн
(предоставляем читателям самим получить (5.59)).
Для капиллярных волн цф = ^Jakjp, т. е. фазовая скорость растет с ростом
ш, что соответствует положительной дисперсии. На рис. 5.2 приведены
зависимости ш и цф от к для поверхностных волн; кривые соответствуют
(5.59).
В свое время, после открытия деления урана, теория капиллярных волн была
с успехом применена к исследованию устойчивости атомного ядра по
отношению к его делению на две приблизительно одинаковые по размерам
части. Созданная теория основывалась на том, что между частицами в ядре
действуют близкодействующие силы, которые похожи на силы поверхностного
натяжения в жидкости (между молекулами тоже действуют силы
близкодействия). Такому "поверхностному натяжению" в ядре противостоят
дальнодействующие силы - силы кулоновского расталкивания протонов. Для
частоты колебаний сферического ядра получается формула, подобная (5.59)
при кН 1, только первое слагаемое в правой части имеет электрическое, а
не гравитационное происхождение, и перед ним стоит знак минус (кулонова
сила направлена по внешней нормали к поверхности). Из этого соотношения
5.4. Гравитационные волны в несжимаелюй жидкости 105
о,
k
Рис. 5.2. Зависимости со и иф от к для поверхностных волн: а - длинные
гравитационные волны (кН <С 1, kg S> о к3 / р, со и к \JglI ¦ иф к sjgH)\
б - короткие гравитационные волны (кН >• 1, kg crfc3/р, со и I
можно было найти условия неустойчивости ядра при бесконечно малых
искажениях его поверхности.
Постройте сами теорию дробления заряженных дождевых капель, считая каплю
сферической, а жидкость несжимаемой (колебания следует разлагать на
стоячие сферические волны по полиномам Лежанд-
Простейший пример внутренних волн в стратифицированной жидкости - волны,
распространяющиеся вдоль поверхности раздела двух однородных жидкостей
разной плотности. Распространение волн обусловлено балансом между силами
плавучести и полной силой инерции жидкости. Более сложный случай - волны
в жидкости с непрерывной стратификацией. В стратифицированной жидкости
любое смещение произвольного участка жидкости по высоте нарушает
равновесие, и возникают колебания. Как уже говорилось, плотность морской
воды зависит не только от давления, но от температуры и от относительного
содержания растворенных солей, которые меняются с глубиной.
Предположим сначала, что со ft и вращением Земли можно пренебречь. При
этом уравнение (5.38) значительно упрощается:
Если среда безгранична и N = const, то 'V(z) = У(0)ехр(±ikzz).
в - капиллярные волны (кН 2> 1, kg <С сгк3/р, со и ку/ак/р, иф и у/ак/р)
ра) [8].
(5.60)
kl = -?2(1 -N2/uo2) и
e = + e = е (5)
(5.61)
106
Глава 5
или
(5.62)
где в - угол между вектором к и вертикалью, /г = ±1. Из (5.62) следует.
что волны могут существовать только при ш < N. Если угол в задан, то
частота ш определяется однозначно, в то время как длина волны и фазовая
скорость могут быть произвольными.
Заметим, что в несжимаемой жидкости условие N = const соответствует
экспоненциальной зависимости плотности от глубины.
Рассмотрим распространение внутренних волн в волноводе, образованном
поверхностью жидкости и горизонтальным дном. В этом случае решение
уравнения (5.60) при сохранении предположения о постоянстве частоты
Вяйсяля имеет вид
Подставляя (5.63) в граничные условия (5.40). получим следующую систему
уравнений:
Из условия совместности системы (5.64) -- равенства нулю ее определителя
- находим диоперсионное уравнение
При kzH <С 1 можно считать, что tg(kzH) яа kzH и, следовательно, когда ш
< N, одно из решений (5.65) запишется так:
(5.63)
ci exp(ikzH) + с2 exp(-ikzH) = 0,
(5.64)
gkztg(kzH) =N2 -u2.
(5.65)
(5.66)
С учетом второго соотношения (5.63) из (5.66) имеем ш = ?0\ZgH-, что
совпадает с (5.49) при -> 0.
5.4. Гравитационные волны в несжимаемой жидкости
107
Очевидно, что найденная в этих прибли- со, жениях волна - это
поверхностная волна дг
в мелкой воде, которая распространяется со скоростью sfgE, т. е.
стратификация жидкости не влияет на характер этой волны.
3
Мы уже говорили, что при N = const в несжимаемой жидкости плотность
зависит от глубины по закону po(z) - poo ехр( - 2vz). Здесь и = N2/(2g).
Поскольку иН 1 (ти-
Рис. 5.3. Закон дисперсии для внутренних волн в многомодовом волноводе
пичные значения N для океана колеблются
в пределах от 0 до 0,01 с'1 [5]), величина (kzoН)~2 = g/[H(N2 - ш2)] при
Предыдущая << 1 .. 771 772 773 774 775 776 < 777 > 778 779 780 781 782 783 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed