Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения (5.39) 'У(г) = Ах ехр(^) + А2 exp(-?z) подставить в граничные
условия (5.40), то из условия совместности получившейся алгебраической
системы уравнений с неизвестными Ах и А2 находим
5.4. Гравитационные волны в несжимаемой жидкости
101
дисперсионное уравнение для поверхностных волн в жидкости конечной
глубины:
Таким образом, в случае, когда, например, ? = кх = к, в (5.44) и (5.45)
ci = 1/\/27г, с2 = 1. Из формул (5.42)-(5.44) при ? = кх = к следует, что
при кН -> 0 (мелкая жидкость) фазовая скорость г>ф стремится к
постоянному пределу \fgH - дисперсия слабая. На глубокой воде
тью между давлением и глубиной жидкости. Гравитационные волны обладают
отрицательной дисперсией, поскольку Тф = [(g/к) th(kH)}1/2 уменьшается с
ростом частоты. Групповая скорость ггр = du>/dk тоже уменьшается с ростом
частоты, поэтому, скажем, в море или океане к берегу из области
возникновения приходят сначала длинные волны, а уже потом короткие. Этот
факт можно использовать для определения расстояния до шторма (читателю,
по-видимому, доставит удовольствие придумать способ обнаружения штормов и
оценить максимальную дальность обнаружения; см. гл. 4).
Заметим, что при анализе гравитационных волн мы исходили из достаточно
общих уравнений. Если ограничить себя с самого начала анализом
гравитационных волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости (р -
const), то можно исходить из уравнений
Полагая далее, что движение потенциальное (rotv = 0), можно ввести
потенциал скорости v = УФ. Воспользуемся формулой векторного анализа
(vV)v = Vw2/2 - [vrotv]. Тогда для несжимаемой жидкости dv/dt + (vV)v =
dv/dt + Уг>2/2 и, следовательно,
e-tH eiH
= 0 или ш2 = ?gth(?ff). (5.46)
Легко видеть, что
при ?Н 1
(5.47)
при ?Н <С 1.
(5.48)
дисперсия всегда есть (ш ~ Vk); она связана с нелокальной зависимос-
^ + (vV)v = -V(^) + g, div v = 0. (5.49)
|(v*) + v(§) = -v(?) + g.
102
Глава 5
Поскольку g есть сила, действующая в поле тяжести на единицу массы, можно
ввести g = -VC/, где U - потенциальная энергия единицы массы жидкости в
поле тяжести. Тогда
откуда легко можно получить так называемый интеграл Коши-Лагранжа [7]:
где /(?) - некоторая функция времени. В стационарном потоке жидкости
(дФ/dt = 0), когда движение установившееся и скорость не зависит от
времени, этот интеграл переходит в уравнение Бернулли
причем для потенциального движения константа в (5.50) одинакова во всей
жидкости. Если rotv = ш ф 0 характеризует завихренность и определяет
угловую скорость элементарного объема жидкости), то (5.50) справедливо
вдоль данной линии тока (постоянная может быть разной вдоль разных линий
тока).
Очевидно, что (5.50) выражает закон сохранения энергии. В этом состоит
смысл уравнения Бернулли, связывающего скорость с давлением, поскольку U
известна. Мы воспользуемся (5.50) в гл. 7, чтобы объяснить известную
неустойчивость Гельмгольца, не решая уравнений гидродинамики.
Обратимся теперь к очень коротким волнам, когда жидкость стремится
вернуться в положение равновесия под действием силы поверхностного
натяжения. Такие волны называются капиллярными. Для этих волн разумно
предположить, что v$ = /(А, а. р). Размерность скорости будет иметь
единственная комбинация из этих величин, а именно
(5.50)
(5.51)
Закон дисперсии, соответствующий (5.51), имеет вид
(5.52)
5.4. Гравитационные волны в несжимаемой жидкости
103
Теперь решим задачу более строго, исходя из интеграла Коши-Лагранжа и
уравнения
V2$ = ДФ = 0, (5.53)
которое получено из условия несжимаемости divv = 0 и определения v=V$.
Когда поверхность раздела, скажем, между воздухом и жидкостью искривлена,
то разность давлений по разные стороны от нее (но вблизи поверхности
раздела) можно определить по формуле Лапласа [1, 6]:
Pi~P2 = r-
Эта разность называется поверхностным давлением; R - радиус кривизны
поверхности, причем 1/R = д2(/дх2, если ( = ((х. t) - уравнение кривой,
соответствующей границе раздела, а поверхность изогнута слабо. В нашем
случае формула Лапласа имеет вид
Р-.Ро =-o-Tj-j, (5.54)
где р - давление вблизи поверхности жидкости, р0 = const - внешнее
давление. На рис. 5.1 кривизна поверхности отрицательна, что учтено
знаком в (5.54). В линейном приближении интеграл Коши-Лагранжа имеет вид
f+="• <5-55)
поскольку слагаемым v2/2 в этом приближении можно пренебречь, силу
тяжести мы не учитываем, чтобы рассмотреть только капиллярные волны, а
/(?) можно, не нарушая общности, считать равной нулю [1]. Используя
(5.54), для z = 0 из (5.55) будем иметь
fH0 = 0' <"6)
Будем искать решение системы (5.53) в виде Ф = <p(z) ехр[г'(оЛ - fear)].
Тогда d2p/dz2 - к2<р = 0 и tp(z) = By exp(fcz) + В2 exp (-fez). Но если
жидкость достаточно глубокая, то <p(z) и В\ekz. поскольку под
поверхностью z < 0 (плоскость ху совладает с невозмущенной горизонтальной
поверхностью жидкости). Продифференцируем (5.56) по t и учтем,
104
Глава 5
что d(/dz = vz = дФ/dz. Будем иметь
Р
дЧ
эе
д2 д Ф
