Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
е. их профиль в процессе распространения не меняется. Это легко пояснить
на спектральном языке. Из-за отсутствия дисперсии все спектральные
составляющие, образующие волну, движутся с одинаковыми скоростями, и
фазовые соотношения между ними сохраняются.
В плоской акустической волне отлична от нуля только яг-компонен-та
скорости vx = др/дх, т.е. частицы в волне движутся только по (или только
против) направлению распространения волны. Именно поэтому акустические
волны в жидкостях являются продольными.
Если скорость среды, в которой распространяется звуковая волна, отлична
от нуля, то закон дисперсии (5.11) уже будет нарушен. Например, если
плоская волна распространяется в однородном движущемся вдоль х с
постоянной скоростью vo потоке, то из (5.9) следует закон дисперсии:
и> = ±ск + Удк. (5.12)
Величина vo к характеризует доплеровский сдвиг частоты акустической волны
в движущейся среде относительно неподвижного наблюдателя. Если волна
движется по потоку, ее частота возрастает на vo к, если против -
уменьшается.
5.3. Стратифицированная жидкость. Звук в океане
Для описания волн в океане или атмосфере уравнения гидродинамики следует
обобщить таким образом, чтобы учесть вращение Земли и стратификацию
жидкости, т. е. зависимость плотности жидкости от вертикальной
координаты. В частности плотность морской воды зависит от давления,
температуры и относительного содержания массы растворенных солей, которые
меняются с глубиной [5, 21, 22]. Соответствующее обобщение приводит к
тому, что уравнение Эйлера вместо (5.2) примет вид
Р\% + (vVH = -Vp- 2p[ftv] - pgVz.
(5.13)
5.3. Стратифицированная жидкость. Звук в океане
95
Здесь ft - угловая скорость вращения Земли, V-z - единичный вектор
вертикальной оси координат; авн заменено на g, поскольку жидкость
находится в поле тяжести.
Предположим теперь, что длины интересующих нас волн много меньше радиуса
Земли, и будем решать (5.13) и (5.4) на плоскости, соприкасающейся со
сферической Землей в данной точке. Оси соответствующей прямоугольной
системы координат направлены следующим образом: ось z - вертикально
вверх, ось х - по параллели с запада на восток, ось у - по меридиану с
юга на север. Линеаризуем уравнения относительно некоторого состояния
покоя, в котором плотность и давление суть функции только z. Пусть р -
p${z) + р'(х, у, z, t), р = po(z)+p'(x, у, z, t), гдер', р' < Ро, Ро-
Заметим, что v=v'(x, у, z, t), так же как и р' и р', есть величина
первого порядка малости. Тогда из уравнений (5.13) и (5.4) получим
% = (5-14)
= -ро div v' - v'Vpo- (5.15)
Уравнение состояния (5.8) в линейном приближении имеет вид |(ро+р') =
^|(Р0+р')
или
др' др0 _ 1 / др' др0
где c(z) = \/{dp/dp)s - адиабатическая скорость звука. Учитывая, что
dpo/dz = -pog, окончательно получаем
др' др0 1 (др' \
У горизонтального дна нормальная составляющая скорости должна исчезать,
поэтому при z - -Н
vz = О,
(5.17)
96
Глава 5
где Н - глубина жидкости. На поверхности жидкости давление составляет ро
+р' - const, поэтому d(p0 +p')/dt = 0, что с учетом правой части (5.16)
дает при z = О
- Pogvz = 0. (5.18)
Воспользуемся в уравнениях (5.14)-(5-16) так называемым приближением
Буссинеска: всюду, где po(z) не стоит под знаком дифференциала, будем
считать р0 = const, причем пусть ро(0) = Роо- Решение уравнений (5.14)-
(5.16) будем искать в виде (см. [3])
Vx Роо У^е ' vy ~ роо ^у(Х: У^е
vz = -iuV(z)Vz(x, у)еш\ р = &(z)Vz(x, y)eiut, р' = р'(х, у, z)eiut,
где и> - частота интересующих нас волн.
Подставляя (5.19) в (5.14)-(5.16), после простых преобразований получаем
из (5.14)
14 + гдVy - supn^V, = (5.20)
= (5-21)
d^(z) +?p(z)+ (u2_N2)V(z)_3upVz =0; (522)
с? Vz
из (5.16) имеем
А. + PoogZllL _ 1 dr(z) j / dvx ЭУЛ х
с2 с2 &>(z) Ро° @{z) dz ш [ дх дх J Vz
При выводе (5.20)-(5.23) использовано полученное из (5.15) выражение
5.3. Стратифицированная жидкость. Звук в океане
97
и определение частоты свободных вертикальных колебаний частиц жидкости,
так называемой частоты Вяйсяля:
N(z) =
.JL(d?± + p°s
Poo V dz c2(z)
1/2
(5.25)
В уравнениях (5.20) и (5.21) введены следующие безразмерные величины:
2ft . 2ft
Ч= - = ТГ5Ш^ S=" = ^TC0S^: (5-26)
где ip - географическая широта места. С учетом (5.19) граничные условия
(5.17) и (5.18) перепишутся так:
2 = -Н. Г (г) = 0, (5.27)
2 = 0, &(z) + poogV(z) = 0. (5.28)
Как показано в [3], уравнения (5.20)-(5.23) допускают разделение
переменных в двух случаях: 1) s и q, взятые при <р, равном
широте мес-
та, являются постоянными; это приближение справедливо для волн, на длине
которых q ш s меняются мало, - для звуковых, поверхностных, внутренних и
инерционных волн; 2) можно пренебречь слагаемыми, содержащими лишь ft,,,
т. е. s, поскольку s ~ ft,,.
Итак, пусть
V0y > е-"к*х+к""\ (5.29)
Уох-, Vo у - постоянные, Voz = 1, что не ограничивает общности решения.
Тогда уравнения (5.20) и (5.21) принимают вид
кх , V(z) тл ,_TZ кУ
9{z)'
Vox + iqVoy - ~ + sojpoo , V0y - iqVQx ш
