Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
значения волнового вектора суть к = 2тгп/(Ма), где п - любое целое число
между -М/2 и М/2. В выражении (4.51)
т. е. полученная из квантовых соображений формула для частоты в точности
совпадает с соответствующей формулой классической теории. Собственные
значения энергии равны
8 = hwk (nk + т(), (4.53)
к
где к пробегает все значения из М положительных чисел.
Итак, поведение одномерной цепочки из одинаковых частиц можно представить
набором нормальных колебаний, каждое из которых соответствует своему
гармоническому осциллятору. Таким образом,
4.6. Квазичастицы
89
каждому нормальному колебанию соответствуют определенное волновое число к
и определенная собственная частота ш*. а энергетическое состояние
осциллятора задается квантовым числом его нормального колебания. Уже одно
то, что энергия нормального колебания с частотой и>ь принимает значения,
выражающиеся целыми числами, умноженными на TiLOk (если отсчитывать от
нуля, а не от основного уровня энергии huik/2), наводит на мысль о
квантовой структуре процесса. Получающиеся кванты и называют
квазичастицами. Одновременно могут возбуждаться и несколько нормальных
колебаний, что соответствует присутствию в системе нескольких
квазичастиц.
В рассматриваемом нами случае простейшей модели твердого тела (в
одномерной цепочке из одинаковых частиц) происходят упругие колебания
атомов в кристаллической решетке.
В кристалле существуют различные типы упругих волн, которые в первую
очередь различаются законом дисперсии. Простейший из них - акустические
волны. Им соответствует при малых ка (а Л) дисперсионное уравнение
(4.13), которое удобно переписать в виде ui/. = = vk, где v = y'W'a2/т
имеет смысл скорости звука. С квантовой точки зрения, как мы видели,
энергия и импульс, связанные с каждой нормальной волной, принимают только
дискретные значения, пропорциональные е = huik и р = Тхк. Каждую такую
волну можно рассматривать как квазичастицу с квазиимпульсом р (при
столкновении квазичастиц в кристаллах квазиимпульс не сохраняется) и
энергией г. Эти квазичастицы называют фононами - квантами звука. Из
сказанного следует закон дисперсии длинноволновых фононов: е = vp. В
квантовой теории поля, решая классические уравнения движения системы,
находят нормальные колебания, а потом называют каждое из них квантовым
осциллятором с собственными значениями энергии §п = Ни>(п + + 1/2) [12,
13]. Квантованные нормальные колебания (квазичастицы) имеют разные
названия.
Мы уже говорили о фононах, но, пожалуй, самая известная квазичастица -
фотон: квант в теории электромагнитного поля с энергией ? = he. где с -
скорость света в вакууме. Волны в системе электронных спинов, связанных
между собой обменными силами, называются спиновыми, а соответствующие им
квазичастицы - магнонами. Коллективные плазменные колебания электронного
газа в металлах, связанные с кулоновскими силами, часто называют
плазмонами. В полупроводниках существуют нейтральные квазичастицы -
экситоны. Об упомянутых квазичастпцах и многих других (поляронах,
флуктуонах и т.п.) можно прочитать в книге [14].
Глава 5
Свойства волн малой амплитуды в сплошных средах
5.1. Общие замечания
В этой главе мы обсудим дисперсионные характеристики волн в различных
реальных средах. Ограничимся средами, в которых физические явления
допускают гидродинамическое описание. Это, конечно, жидкости и газы и,
кроме того, плазма и плазмоподобные среды (например, пучки заряженных
частиц), при анализе волн в которых можно пренебречь кинетическими
эффектами или учесть их феноменологически. Будут рассмотрены как хорошо
известные из общего курса физики звуковые волны, так и более
специфические - волны в атмосфере и океане, связанные с вращением Земли;
внутренние волны в стратифицированном океане; ионно-звуковые волны в
неизотермической плазме и т.д.
Сравнительно подробное обсуждение свойств различных типов волн,
предпринятое в этой главе, облегчает нам в дальнейшем их понимание и
описание с единой точки зрения.
При гидродинамическом описании жидкость рассматривается как сплошная
среда (см., например, [1, 26]), т. е. при анализе смещения некоторой
частицы жидкости речь идет не об отдельной молекуле, а об элементе объема
жидкости, включающем много молекул. В гидродинамике такой элемент, малый
по сравнению с пространственными масштабами интересующих нас процессов,
но большой по сравнению с межмолекулярными расстояниями, считается
точкой. Для полного описания поведения движущейся жидкости достаточно,
чтобы в такой точке были заданы следующие независимые переменные:
скорость жидкости у(х, у, z, t), термодинамические величины, например,
энтропия S(x, у, г, ?), отнесенная к единице массы жидкости [6], и
плотность массы р(х, у, z, t) (х, у, z - координаты рассматриваемого
элемента объема в момент времени t). При таком, эйлеровом, описании
скорость v(x, у, z, t) не связана с определенными частицами жидкости,
которые перемещаются со временем в пространстве, а относится
