Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
очевидно, что
ди(х^
t щи(х) - G{x), если и(х, t) = и(х) exp(iwt).
Это уравнение удобно переписать в интегральной форме (при уело-
86
Глава 4
ВИИ u(0) = 0):
X
w
(х) =еХр(^р) J G(C)exp'(^)dC,
(4.50)
о
где С - текущая переменная интегрирования.
Полагая, что G(x, t) - G(0) ехр(гш? - iwx/vBH), т. e. внешнее возмущение
- волна постоянной амплитуды с частотой и, бегущая с фазовой скоростью
vBH, и интегрируя (4.50), находим
При и>/хф яз w/i!BH получаем секулярный рост и{х, t) вдоль координа-
В этом, в частности, и проявляется пространственно-временная аналогия -
для нарастания гармонической волны в пространстве под действием внешнего
поля необходимо совпадение их пространственных периодов, т. е. резонанс
волновых чисел. В действительности здесь есть резонанс и частот, и
волновых чисел, что выражается в равенстве фазовой скорости собственной
волны в среде фазовой скорости внешней волны. Если Пф и vBH различаются
сильно, то в системе возникнут пространственные биения (длину волны
биений легко определить). В случае, когда в среде может распространяться
много волн, т. е. и(х, t) =
N
= 53 и^ ехР(iixnt - iknx), и внешнее воздействие тоже многоволновое,
условий синхронизма будет тг, т. е. будет п равенств фазовой скорости
собственной волны на чатоте ш,- фазовой скорости внешней волны на той же
частоте. Осознание сформулированных нами условий синхронизма позволило в
свое время создавать электронные СВЧ-приборы с длительным взаимодействием
электронов и волны (наиболее известный из них - лампа с бегущей волной -
JIBB [9]). Для этих приборов время пролета электронов через пространство
взаимодействия много больше периода высокочастотных колебаний поля в
отличие от резонансных СВЧ-приборов типа клистронов - приборов с
кратковременным взаимодействием. о которых мы писали в гл. 1.
и(х, t) = G(0)exp
. 4 exp
IU)X \
UP _ UP Ubh
j x - 1
UP _ UP
^BH
ты x:
u(x, t) = G(0)xехр(гш? - iiox/vф).
71=1
4.5. Формальный способ получения дисперсионного уравнения 87
4
а)
со
V,
ф
JUШUULШJШ,
k
dE х=х
в)
б)
Рис. 4.24. Схема лампы бегущей волны: 1 - электронная пушка; 2 -
электронный пучок; 3 - спираль; 4 - коллектор; 5 и 6 - входное и выходное
устройства; Но - фокусирующее магнитное поле (а); дисперсионнные
характеристики волны (сплошная линия) и пучка (штриховая линия) для
модели vo ~ Оф (б) и иллюстрация пространственного резонанса (в сечении х
- х поле есть суперпозиция полей, создаваемых каждым элементом
возмущенного пучка, расположенным при х < х; поля складываются в фазе,
если v0 и Уф) (в)
Если считать, что и(х, t) - продольная составляющая электрического поля Е
волны в волноведущей системе, a G(x, t) --- волна переменного тока I в
электронном пучке (с точностью до размерного постоянного коэффициента),
то уравнение для и(х. t) есть уравнение возбуждения волновода заданным
током [10, 11]:
где К имеет размерность сопротивления и называется сопротивлением связи.
Если прямолинейный электронный пучок с малой плотностью тока представить
как поток невзаимодействующих частиц, движущихся со скоростью "о- т0
высокочастотные возмущения имеют вид волны тока I(x, t.) = J(0)exp(iwt -
iwx/vq) с фазовой скоростью v0 (vBH = Vo). Таким образом, простейшее
условие синхронизма - это равенство конвективной скорости электронов
фазовой скорости волны. Кстати, из этого условия следует необходимость
при нерелятивистскнх скоростях электронов замедлять электромагнитную
волну (в большинстве ЛБВ используются спиральные замедляющие системы;
рис. 4.24). В случае, когда кулоновы силы в пучке существенны, возмущения
г нем распро-
88
Глава 4
страняются в виде волн пространственного заряда, скорости которых не
равны v0. Для пространственного резонанса в этом случае необходимо, чтобы
был синхронизм между одной из волн пространственного заряда и волной в
замедляющей системе. Следует заметить, что в своих рассуждениях мы
рассматривали лишь влияние внешней волны на собственную. В большинстве
случаев это не так: при условии синхронизма есть и обратное влияние. В
ЛБВ, например, поле волноведущей системы модулирует пучок по скорости и
группирует электроны в сгустки. Такое взаимодействие имеет место в случае
связанных волн, которые мы рассмотрим в гл. 10.
4.6. Квазичастицы
Основываясь на дуализме волн и частиц, можно ввести кванты энергии полей
в макроскопических телах - квазичастицы. Для тех, кто знаком с квантовой
механикой, поясним эту аналогию. Исходя из квантовых представлений,
гамильтониан для цепочки из одинаковых связанных частиц (см. рис. 4.1)
можно в обозначениях гл. 1 записать как сумму членов вида (1.34), т. е.
Ж = ^2?uvk{a-tak + |). (4.51)
к
где <Г^ак - Nk - оператор числа бозонов в состоянии к. а сумма берется по
всем допустимым значениям вектора к. Эти значения к обычно определяются
из периодических граничных условий (ц+м = Qi Для координаты (условие
замкнутости цепочки; М - число частиц в цепочке). Тогда допустимые
