Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
решетки), в противном случае становится уже существенной пространственная
дисперсия, связанная с дискретностью "среды"), спиновые волны в
ферромагнетике и т. д.
80
Глава 4
со/со0
(О
1.0
о
0.8
0.4
0
0.8
16 й/Vc/C,
k
Рис. 4.18. Теоретическая (сплошная кривая) и измеренная экспериментально
(точки) дисперсионная характеристика для изображенной на рис. 4.17 линии
Рис. 4.19. Эквивалентная схема среды-модели, в которой есть собственные
осцилляторы (а), ее дисперсионная характеристика (нижняя ветвь -
акустическая, верхняя - оптическая) [б) и плотность числа осцилляторов
для среды с низкочастотными и высокочастотными колебаниями (в)
Среда из осцилляторов (рис. 4.19). Дисперсионное уравнение имеет
вид
Примером является среда с упругими диполями для электромагнитных волн или
неизотермическая плазма для ленгмюровских и ионно-зиуковых волн. При u>w
з волна не замечает собственных колебаний диполей, и среда ведет себя как
среда без дисперсии. При ш, близких к u>i, и>2 и и>з, дисперсия уже
существенна.
(/о = ш0/(2тг) = 37,3 МГц) [7]
k
а)
б)
со
к2
(и)2 - wf)(w2 - UJ f) - ш
где
| (ш2 + и>2 + ш\) - yj(ш2 + ш\ + ш\) - 4о>| и>| ,
| + со2) + (lo2 + wf + - 4wfwf .
4.5. Формальный способ получения дисперсионного уравнения 81
С
а)
L
(О
б)
k
Рис. 4.20. Эквивалентная линия передачи, соответствующая распространению
обратной волны (а), и ее дисперсионная характеристика (б). Групповая
скорость равна и противоположно направлена фазовой скорости (г)ф =
oj2VLC)
Модель замедляющей системы, в которой распространяется обратная
пространственная гармоника. Дисперсионное уравнение имеет вид ш2 =
(к2ЬС)~1. Разрыв на дисперсионной характеристике в области к и 0 (Л -"
оо) соответствует пространственно однородному полю, которое, очевидно, не
реализуется в такой системе (за исключением тривиального случая и = 0).
Заметим, что данная модель описывает и распространение поперечной волны в
упругих стержнях (рис. 4.20).
4.5. Формальный способ получения дисперсионного уравнения. Волны в
одномерном резонаторе. Резонанс волновых систем
Пусть уравнение, описывающее распространение волн в среде, можно записать
следующим образом:
где А, В и С - матрицы, и - вектор. Будем искать решение (4.41) в виде
где Ф{ФЬ Ф2, ... , Фп} - комплексный вектор (поляризационный вектор),
компоненты которого Фг- есть коэффициенты распределения, характеризующие
соотношение амплитуд различных физических переменных в гармонической
волне.
Подставляя (4.42) в (4.41), приходим к алгебраической системе уравнений
для Ф;. Условие существования нетривиального решения этой системы и будет
искомым дисперсионным уравнением
(4.41)
и = Ф exp (iuit - ikx);
(4.42)
Det(4u> - Вк - iC) = D(lj, к) = 0.
(4.43)
82
Глава 4
Пусть уравнение (4.43) имеет решения и = us(k) и к = ks(u>). где s = 1,
2, ... , п. Это означает, что в среде существует п типов волн, т. е.
П
и(х, t) = ^2 Ф^з) exp[iws? - iks(w)x] + к. с.,
г=1
к. с. означает комплексно-сопряженную величину. Как и в случае
сосредоточенных систем (см. гл. 2), можно перейти к нормальным волнам:
as(x, t) = Ф^а) exp(iu>st - iksx).
Ввиду отсутствия связи между нормальными волнами они удовлетворяют
уравнениям
+ iksas = 0, s = 1, 2, ... , п. (4.44)
Такая запись удобна и тогда, когда между волнами появляется слабая связь:
в уравнение (4.44) в этом случае необходимо добавить слагаемое aj с
соответствующим коэффициентом связи (связанным волнам мы посвятим далее
отдельную главу).
Для распределенных систем дисперсионное уравнение - это уравнение,
связывающее две комплексные величины и и к. Для сосредоточенных же систем
имеется характеристическое уравнение, которое дает более полную
информацию о системе - спектр ее комплексных собственных частот.
Есть ли аналог подобного уравнения для распределенной системы? До сих пор
мы рассматривали безграничные среды. Обратимся теперь к системам, в
которых предполагается наличие обратной связи (будем называть их
резонаторами). В простейшем случае такая обратная связь осуществляется в
кольцевом резонаторе. В кольцевом резонаторе может реализоваться как
режим чисто бегущей волны, так и режим суперпозиции встречных волн,
частным случаем которого является стоячая волна. Для установления в
кольце стоячей волны необходимо подобрать начальные условия. В более
общем случае обратная связь, превращающая волновод в резонатор, обязана
своим происхождением различного рода неоднородностям - стенкам, зеркалам,
на которых бегущая волна достаточно сильно или полностью отражается,
передавая энергию встречной волне. Примером могут служить оптический
резонатор Фабри-Перо и линия передачи, закороченная или разомкнутая на
концах. Решение при этом представляется в виде суперпозиции встречных
4.5. Формальный способ получения дисперсионного уравнения 83
волн:
и(х, t) = Ф1 exp(iuit - ikx) + Ф2 exp(iu)t + ikx), (4.45)
амплитуды которых в простейшем случае идеального отражения на концах
резонатора должны равняться друг другу по модулю. Например, в случае
