Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
4.4. Типичные дисперсионные характеристики сред-моделей 77
Будем исходить из телеграфных уравнений
8I = _dQ dU = _dФ (4 36)
дх at' дх at' 1 j
дополненных уравнениями связи заряда Q с напряжением U и магнитного
потока Ф с током I:
Q = Q{U}, Ф = Ф{7}. (4.37)
В общем случае Q и Ф - дифференциальные или интегральные операторы, и
только в средах без дисперсии связь между переменными мгновенна: Q = CU,
Ф = LI (уравнения связи становятся алгебраическими). Заряд (или поток) не
зависит от напряжения или тока в соседних точках или в соседние моменты
времени. Если Q и Ф - дифференциальные операторы, содержащие производные
по t или по ж, то связь между переменными нелокальна, и можно говорить о
среде с временной или пространственной дисперсией соответственно.
Z(co)
Рис. 4.14. Эквивалентная схема цепочки: Z(ui) - погонное сопротивление;
Y(u>) - шунтирующая проводимость ! У(со)
Описанный выше подход мы уже использовали в частном случае применительно
к схеме рис. 4.13 в конце предыдущего раздела. Найдем дисперсионное
уравнение, соответствующее весьма общей эквивалентной схеме цепочки,
представленной на рис. 4.14, полагая, что I = J exp(iut) и U = °ll
exp(iwt). Уравнения для комплексных амплитуд имеют вид
Если предположить, что <0, °ll = (Jq. °Uo) ехр(-ikx), то из условия
разрешимости системы для амплитуд <У0 и °Uo найдем дисперсионное
уравнение
к2 = -Y{w)Z{w). (4.38)
Конкретный вид Y(u>) и Z(u>) определяется уравнениями связи.
78
ГлО.80. If.
СО
Рис. 4.15. Эквивалентная схема среды-модели без дисперсии и ее
дисперсионная характеристика
k
Рассмотрим различные дисперсионные характеристики моделей из LC-
элементов, используя (4.38).
Среда без дисперсии. Для цепочки, представленной на рис. 4.15, Y(и>) = шС
и Z(u) = iuiL, т. е. и>2 = к2/(ЬС). По дисперсионному уравнению можно
восстановить соответствующее дифференциальное уравнение. В данном случае
это - волновое уравнение d2U/dt2 - - (LC)~1d2U/dx2 = 0. Фазовая скорость
Пф = (LC)~1//2 = const; следовательно, модель соответствует среде без
дисперсии. Эта модель описывает распространение электромагнитной волны в
вакууме, звуковых волн в чистой воде, низкочастотного звука в твердом
теле, основной прямой пространственной гармоники в замедляющих системах
для электронных усилителей бегущей волны (например, в спирали).
Среда с дисперсией в области низких частот (рис. 4.16). Рассмотрим модель
среды, дисперсия в которой описывается уравнением
а соответствующее уравнение в частных производных - линейное уравнение
Клейна-Гордона (уравнение (4.27)). Таким образом, цепочка на рис. 4.16 -
это электрический аналог модели связанных маятников, когда а" А. Такая
среда-модель описывает, в частности, распространение электромагнитных
волн в плазме, при этом шо = ojp (и>р - плазменная частота),
распространение волн в волноводе и т. д.
Среда с дисперсией в области высоких частот. Распространение волн в
длинной линии, состоящей из ячеек, показанных на рис. 4.17, описывается
уравнениями в частных производных:
ЬгС'
1
<о^_гди_ dU = _i
дх dt ' дх
(4.39)
Г = 1-^
СгдЧ С дх2
Полагая, что все переменные величины изменяются по закону е^гш1 lkx). и
вводя обозначения и>2 = 1/(LC\), fcg = С/С\, из (4.39) получаем
4.4. Типичные дисперсионные характеристики сред-моделей
79
•л СО / // //
% / / / / / k
Рис. 4.16. Эквивалентная схема среды-модели с дисперсией в области низких
частот и ее дисперсионная характеристика
Рис. 4.17. Типичная ячейка длинной линии, использованной в экспериментах
[7]: L = = 182 мкГн, Ci = 100 пФ, С = = 24 пФ, Ах = 1 см
дисперсионное уравнение
ы2 =
LO^k2
kl + k2
(4.40)
Очевидно, что можно было бы не выписывать (4.39), а найти непосредственно
из эквивалентной схемы Z = iwL/( 1 - u>2LCi) и Y = гшС, что с учетом
(4.38) сразу даст (4.40). Однако мы хотели лишний раз продемонстрировать,
как появляется дисперсия из-за нелокальной связи переменных (см.
материальное уравнение Ф = Ф{1) в (4.39)). Интересно, что дисперсия в
данной среде-модели такая же, как и в случае длинной линии с индуктивной
связью между ячейками (см. рис. 4.13). Дисперсионная кривая,
представленная на рис. 4.18, определялась в обычном для таких целей
эксперименте [7], когда один конец линии нагружен на сопротивление, не
равное характеристическому сопротивлению Z0 линии (Z0 = у/L/C/(1 -
w2/cjg) ~ {L/C)1/2 ~ 1 Ом). Из-за отражений в линии устанавливается
картина стоячих волн. Длину волны находят с помощью зонда и лампового
вольтметра, измеряя расстояние между минимумами стоячих волн. Самой
высокой частоте соответствует длина волны приблизительно 2Дх. Как
показано в работе [7], данная среда-модель количественно "описывает"
распространение ионных акустических волн (ионный звук) в плазме. Эта
линия моделирует также распространение звука в твердом теле (звуковая
волна распространяется без дисперсии, пока ее волновое число к много
меньше обратного вектора решетки q = 2тг/а (а - расстояние между ионами
