Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 767

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 761 762 763 764 765 766 < 767 > 768 769 770 771 772 773 .. 942 >> Следующая

между различными физическими переменными во времени или пространстве.
Так, в электродинамике сплошных сред пространственная дисперсия связана с
тем, что электрическая индукция D в данной точке пространства
определяется значением напряженности Е электрического поля не только в
этой точке, но и в некоторой ее окрестности, т. е. D и Е связаны
нелокально в пространстве:
Di(w, k) = ?ij(ui, k)Ej(w, к),
где ?ij(uj, к) - тензор комплексной диэлектрической проницаемости [5].
Формально можно ввести следующие определения: в электродинамике сплошных
сред среда имеет пространственную дисперсию, если ее диэлектрическая
проницаемость зависит от волнового вектора; если же проницаемость зависит
от частоты, то мы имеем дело с частотной или временной дисперсией.
Последняя связана также с нелокальностью связи D и Е во времени, причем
временная дисперсия обычно велика, поскольку собственные частоты среды
попадают в рассматриваемый интервал частот [5]. Пространственную
дисперсию следует принимать во внимание, например, в физике изотропной
плазмы, когда длина волны соизмерима с радиусом Дебая, в теории
проводящих сред при учете соударений, когда длина свободного пробега
порядка длины волны.
В кристаллооптике пространственная дисперсия приводит к качественно новым
эффектам, таким, как естественная оптическая активность (гиротропия),
оптическая анизотропия кубических кристаллов [5, 6]. Укажем еще, что в
плазме, например, групповая скорость продольных волн становится отличной
от нуля также из-за пространственной дисперсии (мы вернемся к этому
вопросу в следующей главе).
Следует также подчеркнуть, что, хотя пространственная дисперсия -;
результат существования собственного пространственного масштаба в среде,
т. е. результат дискретности "среды", ее учет можно провести и в рамках
модели сплошной среды, еслц феноменологически
4.3. Предельный переход от упорядоченных структур
75
найти соотношения между физическими переменными, учитывающие
нелокальность их связи в пространстве. Таким образом, чтобы учесть
пространственную дисперсию, нужно правильно построить модель среды.
Рис. 4.13. Длинная линия с индуктивной связью М между ячейками и
соответствующая дисперсионная характеристика
Рассмотрим в качестве примера распространение электромагнитной волны в
длинной линии, изображенной на рис. 4.13 (см. задачу 4.23 в [3]).
Если связь между ячейками отсутствует, то справедливы телеграфные
уравнения
dI = _§Q = _rdU dU _дФ _Тд1
дх dt dt ' dx dt dt '
которые легко преобразуются в волновое уравнение
d2I _ J_d4 n dt2 LC dx2
так что в анализируемой модели цепочки дисперсии нет. Однако при наличии
индуктивной связи между ячейками зависимость между магнитным потоком Ф и
током I выражается материальным уравнением Ф = LI - Md2I/dx2, из которого
следует нелокальная связь между этими величинами (наличие
пространственной производной от тока). Тогда
d2i 1 d2i = м_ d4i
dt2 LC dx2 dt2dx2
Соответствующее дисперсионное уравнение имеет вид
, )2Ь2
= ,4'33)
где u>q = 1 /LC, а = M/L. (Обратите внимание, что к в формуле (4.33) -
безразмерная величина, так как в цепочке мы все считаем
76
Глава 4
не на единицу длины, а на ячейку; величины L и С измеряются
соответственно в генри и фарадах на ячейку; чтобы перейти к размерной
величине, надо умножить к на размер ячейки а в соответствующих единицах
длины). Если а С 1, то, сохраняя члены первого порядка малости по а, из
(4.33) получаем
ш2 = ulk2{l - ак2). (4.34)
Обратимся теперь к уравнению (4.12) для одномерной решетки из одинаковых
частиц. Положим ка малым и разложим sin2(fca/2) в ряд, ограничиваясь
членами порядка (fca)4; тогда
Так как в (4.34) к - величина безразмерная, то обозначая ка через к и
полагая W"/т = а 1/12 = а, приходим от (4.35) к (4.34). Таким образом,
оба подхода - и дискретный, и феноменологический учет нелокальное(tm) связи
между физическими величинами - приводят к правильному описанию
пространственной дисперсии ("загиб" дисперсионных кривых на рис. 4.2 и
4.13 связан с пространственной дисперсией). Пространственная дисперсия
проявляется и вблизи частоты w0 (см. рис. 4.12(7 и (4.32)). В уравнении
(4.33) знак а может быть любым. Тогда если ш2 = ш^к2/(1 - ак2), то при а
~ к~2 фазовая скорость волны г>ф = ш/к ->¦ оо и групповая скорость
(скорость переноса энергии в среде без потерь) vrp = dui/dk -> оо.
(Позднее мы подробнее остановимся на понятиях фазовой и групповой
скоростей.) Следовательно, информация от одной точки к другой передается
мгновенно. Подумайте, с какими идеализациями модели связан возникший
парадокс.
4.4. Типичные дисперсионные характеристики сред-моделей
Рассмотрим наиболее типичные дисперсионные характеристики различных
одномерных сред, воспользовавшись для наглядности эквивалентными схемами
из ЕС-цепочек. С помощью ТС-цепочек можно реализовать практически любую
дисперсионную зависимость, поэтому такие цепочки могут служить моделями
при исследовании распространения волн в различных средах.
Предыдущая << 1 .. 761 762 763 764 765 766 < 767 > 768 769 770 771 772 773 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed