Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 766

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 760 761 762 763 764 765 < 766 > 767 768 769 770 771 772 .. 942 >> Следующая

цепочек из одинаковых частиц при условии ка ^ 1 означают переход от
упорядоченных структур к одномерной сплошной среде.
Если в уравнении (4.27) устремить и>0 к нулю, то мы получим обычное
волновое уравнение
д2Н<р(х, t) 2 d2ip(x. t)
дё "
72
Глава 4
дисперсионное уравнение которого имеет вид
и> = ±vk.
(4.30)
Для анализируемой модели фазовая скорость волны v = a^/ji/m, откуда
ш
ка.
(4.31)
Это уравнение совпадает с (4.13) для цепочки из одинаковых равноудаленных
частиц при ка •С 1. Физически это ясно, так как при ujq = л/gjl -> 0 для
маятника необходимо, чтобы I -" оо; это значит, что длина маятника
становится такой большой, что уже не влияет на его колебание, а это и
есть цепочка шариков, соединенных пружинками (но ка 1!).
Рис. 4.12. Дисперсионные кривые для сред с линейной дисперсией (а) и с
дисперсией, описываемой уравнением (4.29) (б)
Если в дисперсионном уравнении между w и к зависимость линейная, т. е.
справедливо (4.30), то говорят, что в данном случае среда без дисперсии.
В этом случае фазовая скорость, определяемая как ш/к, будет постоянной и
не зависящей от частоты (рис. 4.12 а). В частности, при ка 1 цепочка
атомов-шариков в одномерной решетке ведет себя как упругая струна,
описываемая волновым уравнением. В этом случае речь идет о
распространении упругих волн в сплошной среде со скоростью V, равной
скорости звука (отсюда название "акустическая" ветвь для нижней кривой
рис. 4.5). Из уравнения (4.29) при ш, немного больших Wo, следует, что
дисперсионная кривая имеет вид параболы:
2
w " w0 + Ак2, если А = ~1й - <§; 1, (4.32)
ZTYIUJq
т. е. вблизи его дисперсия проявляется. В то же время интересно, что при
достаточно больших w дисперсии не будет (линейная зависимость и>(к)).
Попытаемся систематизировать полученные нами результаты, чтобы понять, с
чем связано существование дисперсии в среде.
4.3. Предельный переход от упорядоченных структур
73
Вернемся к уравнению Клейна-Гордона, которое описывает распространение
одномерных волн в среде с дисперсией, в частности в цепочке маятников с
собственными частотами wo, расположенных на расстояниях a <SC Л
(дисперсионная кривая - сплошная кривая на рис. 4.12 6). Мы уже говорили,
что при и>0 -" 0 дисперсия исчезает: длина нитей маятников так велика,
что у них нет собственного периода колебаний, цепочка превращается в
данном случае в упругую струну. Дисперсия исчезла, когда исчез
собственный временной масштаб, характеризующий среду. Когда каждый
маятник имеет собственный период Т = 27г/сао, "среда" из маятников не
будет воспринимать частоту меньше собственной. На этой критической
частоте все маятники будут колебаться синфазно: волн нет, существуют
только колебания. Если теперь обратиться к уравнениям (4.21) и (4.23), в
которых соотношение между а и Л может быть любым, то нетрудно видеть, что
дисперсия в системе сохраняется даже при и>о -4 0. Действительно, в этом
случае мы приходим к цепочке из шариков, связанных пружинками. В этой
среде дисперсия существенна, пока а не мало по сравнению с Л. Таким
образом, в "решетке" из шариков дисперсия определяется собственным
пространственным масштабом - периодом "решетки". С этим же связана
дисперсия в "решетке" из равноудаленных частиц разной массы (см. (4.16)).
Что касается цепочки из связанных маятников, когда и?о Ф 0 и расстояние а
сравнимо с Л, то дисперсия определяется и временным, и пространственным
масштабами. Аналогично характеризуется дисперсия и для цепочки из
магнитных стрелок, где наряду с периодом а фигурирует частота w#,
связанная с существованием внешнего магнитного поля (см. (4.26)). Таким
образом, можно сказать, что существование дисперсии в среде связано с
наличием в ней собственных, независимых от параметров волны
пространственных или временных масштабов.
Если в среде нет никаких характерных пространственных или временных
масштабов (как, например, при распространении звука в воде или
электромагнитных волн в вакууме), т. е. нет характерных частот или
периодов, то распространяющаяся несинусоидальная волна искажаться не
будет. Дисперсия в этом случае отсутствует.
Если, например, в воду "напустить" пузырьков, т. е. ввести некий
пространственный масштаб а - расстояние между пузырьками или размер
пузырьков, то для волны с Л " а искажений при распространении не будет,
если же Л ~ а, то волна искажается, в системе есть дисперсия. В
кристалле, скажем, волна низкой частоты (длина волны много больше
расстояния между ионами) распространяется без иска-
74
Глава 4
жений, а для высоких частот уже имеет значение расстояние между ионами -
дискретность "среды" (см. рис. 4.2, 4.3 и 4.5).
Дисперсия, связанная с наличием в среде временных масштабов, обычно
называется временной, а с наличием пространственных масштабов-
пространственной. Заметим, что такая классификация удобна лишь в
электродинамике, где можно говорить отдельно об уравнениях среды и поля.
На формальном языке уравнений дисперсия - это нелокальная зависимость
Предыдущая << 1 .. 760 761 762 763 764 765 < 766 > 767 768 769 770 771 772 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed