Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 765

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 759 760 761 762 763 764 < 765 > 766 767 768 769 770 771 .. 942 >> Следующая

персионное уравнение (4.23) определяет частоты ОТ W = (J0 ДО Ш* = \/Wq +
471/ш, что соответствует значениям ка от ка = О до ка = тт. Область
частот и>0 < ш < ш* соответствующими волновыми числами
- область прозрачности, в которой волны в цепочке
распространяются без затухания (рис. 4.9). Из (4.23) следует, что
условие ш < ш0 возможно лишь, когда sin2(fca/2) < 0, т.
е. при
мнимых к. Неравенство ш > из* может выполняться также лишь при мнимых
к. Этой области соответствует уравнение ш2 =
= utq + (471/m) ch2(xa/2), а интервалу ш < ш0 - уравнение (4.24).
Указанным значениям шик соответствует область непрозрачности, в которой
амплитуда колебаний возбуждаемой на границе цепочки экспоненциально
спадает с увеличением п (рис. 4.10).
Рис. 4.9. Дисперсионная кривая в области прозрачности для цепочки,
изображенной на рис. 4.8
4.2. Колебания в упорядоченных структурах
69
со
со
со<со0
СО >00'
со'
-1->
X, X
о
о
Рис. 4.10. Дисперсионные кривые в области непрозрачности для цепочки,
изображенной на рис. 4.8: 1 - ш2 = (ш*)2 + (47i/m) sh2(xa/2)
Обсудим в заключение еще один пример - цепочку, состоящую из маленьких
магнитных стрелок - осцилляторов с неупругой связью (рис. 4.11). Цепочка
находится во внешнем магнитном поле, каждая стрелка может свободно
вращаться в плоскости чертежа вокруг своего неподвижно закрепленного
центра; основные обозначения вынесены на рисунок. Будем предполагать, как
мы и делали в большинстве случаев, что магнитное взаимодействие имеет
место лишь между полюсами ближайших стрелок. Распространение волн в такой
цепочке рассматривалось М.Пароди при изучении ферромагнитных кристаллов
[2], а недавно вновь анализировалось в [4] в связи с исследованием
магнитостатических волн в магнитоупорядоченных средах.
Опуская выкладки [4], выпишем уравнение движения для п-й стрелки, которое
имеет вид
г- 2m212 / . о ч
1 сУ-п - о (c^n+i "Ь оосп-1 2схп) а0
где I - момент инерции магнитной стрелки относительно ее оси вращения.
Дисперсионное уравнение, соответствующее (4.25) при условии I С а, как
показано в [4], запишется следующим образом:
-2пЛ + оГТйН - 2т,я"""' (4'25)
(4.26)
70
Глава 4
rt-1
У\ап-1 ^ап

Рис. 4.11. Цепочка из магнитных стрелок: вверху - в невозмущенном
состоянии; внизу - возмущенное состояние цепочки при отклонении диполя от
положения равновесия на малый угол
Величина ш2н = (7 = 2ml/I) определяется параметрами цепочки
и внешним магнитным полем; она имеет размерность квадрата частоты,
поэтому - аналог собственной частоты прецессии намагниченности. Параметр
(4т1/а3)у характеризует связь между стрелками-осцилляторами. Если внешнее
поле отсутствует, то для больших длин волн (ка С 1) w = и>м[ 1 -
(ка)2/А], где % = у/&т212/1а3 и определяется только параметрами цепочки.
4.3. Предельный переход от упорядоченных структур к одномерной сплошной
среде. Временная и пространственная дисперсия. Физическая природа
дисперсии
Вернемся к цепочке одинаковых маятников, связанных между собой пружинами
(см. рис. 4.8). Предположим, что характерный пространственный период
волнового движения в дискретной цепочке много больше расстояния между
маятниками, т. е. много больше размера ячеек. Тогда возможны следующие
замены:
<Pn(t) -+.р(х, t),
ч / д(р(х, t) 1 д2(р(х, t) 9
<Pn+i(t) ip{(x + a), t} = ip(x, t) + -^-a + 2--a + ... ,
/ n r, . , дш(х, t) 1 d2(p(x, t) о
ipn-i(t) -" ip{(x - a), t} = ip(x, t)-^-a + ^-^2-a + '
4.3. Предельный переход от упорядоченных структур
71
Переходя от дискретной координаты к непрерывной и используя введенные
выше замены в уравнении (4.21), получим уравнение в частных производных
t) 7d2ip(x, t) 9 / ч , , ч
дх* + ^t] = °' ( }
где v2 = 7ia2/т. Это линеаризованное уравнение Клейна-Гордона, впервые
появившееся в теории поля.
Обсудим подробнее смысл допущений, сделанных при выводе (4.27). Во-
первых, функция ipn(t) была определена в дискретных точках оси х, мы же
заменили ее непрерывной. Во-вторых, мы разложили функцию <р(х, t) в ряд и
отбросили высшие члены разложения (в этом неточность уравнения (4.27)).
Кроме того, проделывая эти операции, мы не определили точно, по сравнению
с чем а мало. Когда же справедливы сделанные допущения? Получим
дисперсионное уравнение для (4.27). Подставляя <р(х, t) ~ exp(iwt - ikx)
в уравнение (4.27), имеем
uj2 = + v2k2 (4.28)
или
J2 = Wg + (ка)2. (4.29)
Легко видеть, что (4.29) получается из (4.23), если sin2(fca/2) и
(ка)2/4, т. е. при ка <SC 1. Итак, когда мы говорим о малости а по
сравнению с характерным пространственным периодом волнового движения, мы
говорим о малости ка и, следовательно, о малости а по сравнению с длиной
волны, поскольку к = 27г/А (ка 1 или а -С А). Для достаточно длинных волн
наши допущения справедливы, и цепочку маятников можно рассматривать как
среду, описываемую уравнением Клейна-Гордона. Однако все приближения
нарушаются, когда А "а, т. е. длина волны в структуре соизмерима с ее
периодом. Таким образом, преобразования дисперсионных уравнений § 4.1 для
Предыдущая << 1 .. 759 760 761 762 763 764 < 765 > 766 767 768 769 770 771 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed