Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
далеких взаимодействий с
4.2. Колебания в упорядоченных структурах
65
т0 т1 " - ""[ - т2 т{
х2п-1 Х2п+1 с
( 17'^
Х2п-\ Х2 п Х2п + 1
Рис. 4.4. Одномерная "решетка", состоящая из равноудаленных чередующихся
частиц разной массы (продольные колебания)
нечетные - с массой mi) в следующем виде:
72 "I
Д2 /
=^"(4-i + 4+i-K)t
т1 - *f2+1 = W"(X2n + X2n+2 - 2x2n +1)'
(4.14)
Полагая, что
x'2n -А2 exp(iwt - г ¦ 2nka). х2п±1 ехР ~ * ' (%п ^ 1)^а], из (4.14)
находим систему алгебраических уравнений, условие совместности которой
приводит к дисперсионному уравнению четвертой степени относительно
частоты:
ш4 - 2u?W" sin2 ka = °- (4Л5)
Из (4.15) следует, что
(J- + J_\2 _ 4sin2 ka \тх + т2 J тгт2
1/2 '
(4.16)
При малых ка из (4.16) получаем
-2^" ка, (4.17)
тх + т2 4 '
(4.18)
66
Глава 4
Из (4.16)-(4.18) видно, что в такой "среде" возможно распространение двух
видов волн. Их дисперсионные кривые представлены на рис. 4.5.
Верхнюю ветвь, соответствующую высокочастотным колебаниям цепочки,
называют оптической (при малых ка она описывается формулой (4.18)). От
нее отделена низкочастотная ветвь - акустическая (при малых ка ей
соответствует формула (4.17)). С ростом ка обе ветви сближаются.
Предоставляем читателю самому изучить переход от двухатомной цепочки к
одноатомной. Заметим, что при увеличении числа разносортных частиц
соответственно увеличивается и число оптических ветвей.
Электрическим аналогом одномерной "решетки" из одинаковых равноудаленных
частиц является цепочка, составленная из последовательно соединенных
индуктивностей L и емкостей С (рис. 4.6). Такая LC-цепочка ведет себя как
фильтр нижних частот и описывается уравнением для тока
Рис. 4.5. Дисперсионные кривые для цепочки из двух сортов частиц: верхняя
ветвь - оптическая; нижняя - акустическая
d2ir,
dt2
(LC) 1(in-1 + in+i - 2гп),
(4.19)
которое совпадает с уравнением (4.11). если сделать замены W"/т О о
(LC)~1.
Рассмотрим еще одну реализацию одномерной цепочки - бесконечный ряд
одинаковых акустических резонаторов объемом Vp. которые соединены
трубками с поперечным сечением S и объемом УТр (рис. 4.7). Пусть через
эту систему протекает газ с объемной плотностью р. Предположим, что в
любой момент времени газ в резонаторах находится в состоянии равновесия и
объем резонатора много больше объема соединительной трубки. Используя
второй закон Ньютона, можно убедиться, что имеет место уравнение
d2pn _ _________
dt2 xVPVTpP
s2
{Pn+1 4" Pn-i 2pn).
где dpu - изменение давления в n-м резонаторе, а х=
(4.20) 1 (v"- vn-i)S
И dpn/dt
сжимаемость газа. Уравнение (4.20) аналогично (4.11), т. е. действи-
4.2. Колебания в упорядоченных структурах
67
lxl I/ , lJL Vn VL
Рис. 4.7. Акустический аналог одномерной цепочки из одинаковых частиц:
vn-i я vn - скорости массы газа, находящегося между (п - 1)-, га-й и га-,
(га + 1)-й трубками соответственно
Рис. 4.6. Электрический аналог одномерной цепочки из одинаковых частиц:
гп - ток, протекающий через индуктивность между (га - 1)- и га-й
емкостями;
Qn и Vn = Qn/C - заряд на емкости и приложенная к ней разность
потенциалов
тельно, рассмотренная цепочка представляет собой акустический аналог
одномерной решетки из одинаковых частиц, в которой каждая частица
взаимодействует только с ближайшими соседями1.
Перейдем теперь к более сложному и более общему случаю, когда цепочка
состоит не из частиц, а из тождественных связанных между собой
осцилляторов, например, маятников массы т. имеющих собственную
частоту шц
I'
Связь маятников
осуществляется пружинами с жесткостью 7i (рис. 4.8). Уравнение для
смещения ipn(t) п-го маятника в случае малых колебаний и в предположении,
что взаимодействие каждого осциллятора имеет место лишь с ближайшими
соседями, может быть записано в виде
Рис. 4.8. Цепочка одинаковых маятников, связанных между собой пружинами
фп + - {Jko) (pn+i + Vn-i ~ 2ipn). (4-21)
Читатель легко выведет это уравнение сам, используя подход, описанный при
выводе уравнения (4.8). Решение дифференциально-
1Последние два примера соответствуют задачам 4.1 и 4.44 из [3], которые
мы рекомендуем читателю решить.
68
Глава 4
разностного уравнения (4.21) с разностью второго порядка будем искать в
виде одночастотных колебаний (аналогично решению (4.9)), т. е.
<?>" = Л exp(iu>t - гпка), ipn-i = Лехр[й*Л - г(п - 1)ка\, (4.22)
1 = А ехр[гоЛ - i(n + 1)ка].
Подставляя (4.22) в (4.21), получаем для действительных к закон дис-
персии:
ш2 = шо + ДГ С1 - cos ка) = wo + 1W sin2 , (4.23)
и для к = -ix (х - действительная величина)
J = *1 + ^Г" - сЬ^) = f. (4.24)
Задавая в уравнении (4.23) частоту ш (оказывая на цепочку внешнее
воздействие), можно найти к. Если к получится действительным, то это
значит, что вдоль цепочки будет распространяться волна частоты ш, если к
мнимое, то волна экспоненциально затухает.
Действительно, поскольку tp"=A exp(iwi - - inka), при к = -ix <?>" =
Аехр(гаЛ - пха)
и <?>п -" Ос ростом номера п ячейки. Дис-
