Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Йш(к) и импульсом р = Йк. Таким образом, анализ поведения колебаний в
упорядоченных структурах приводит нас к одному из самых интересных
понятий современной физики - понятию квазичастиц [16].
4.2. Колебания в упорядоченных структурах (цепочки из связанных частиц и
из тождественных связанных осцилляторов)
Начнем с вывода уравнения движения безграничной одномерной решетки из
одинаковых равноудаленных частиц (рис. 4.1). Рассмотрим продольные
колебания цепочки.
Как видно из рис. 4.1, координата п-й частицы в данный момент времени
после возмущения равна
где х'п - - отклонение от положения равновесия (будем далее предполагать,
что х'п -С о). Расстояние между двумя произвольными частицами (n-й и (п +
Z)-fl) составит
ш = ш(к),
(4.1)
Хп - Т1(Х -f- Хп^
(4.2)
(4.3)
62
Глава 4
Рис. 4.1. Одномерная "решетка" состоящая из одинаковых равноудаленных
частиц; вверху - решетка до возмущения; внизу - после возмущения
(продольные колебания)
Если считать, что потенциальная энергия, на основании которой можно найти
силу взаимодействия двух произвольных частиц, зависит только от
расстояния между ними |xn+i - хп\ (будем обозначать ее через W(X) =
W(\xn+l -ж"|)), то для потенциальной энергии решетки можно записать
следующее выражение:
W(\xn+1 - Хп\). (4.4)
п 1>0
Рассмотрим линейные колебания, т. е. учтем малость х'п. Тогда, разлагая
W(|xn+i - хп\) в ряд Тейлора и ограничиваясь членами второго порядка
малости, получаем
W(xn+i - хп) =
= W(la) + (x'n+l - x'n)W'(la) + hx'n+l - x'n)2W"{la), (4'5)
dW nmn"\ _ dlW
X=la
где W'(la) = ^ , W"(la
d-X x=la dX
Подставляя (4.5) в (4.4), запишем выражение для потенциальной
энергии цепочки в виде
w = ЕЕК+/ - О(tm)'(la) + - <)2W"(la)] + Wo, (4.6)
n i> 0
где Wo = ?) ? W(la). Зная W, легко вычислить силу, действующую
п />0
на р-ю частицу, поскольку Fp = -dW/дх'р. Дифференцирование ведется по
смещению хр рассматриваемой частицы, поэтому вклад в Fp при
4.2. Колебания в упорядоченных структурах
63
суммировании по п дадут лишь слагаемые, зависящие от хр, т. е. слагаемые,
для которых справедливы равенства п=ряп + 1=р. Тогда из (4.6) следует,
что
fp = ~тгг = Е + xr-i - Ч)- (4-7)
Р 1> о
Можно показать, что для модели рис. 4.1 величина W"(la) аналогична
жесткости пружинок, соединяющих шарики. Если частицы в решетке имеют
массу ш, то согласно второму закону Ньютона md2x'p/dt2 = Fp уравнение
движения р-й частицы в решетке с учетом (4.7) можно записать так:
т<^г = Е w"(xP+i + х'р-1 ~ Ч)' w"il) = w"(la)- (4-8)
dt i> о
Решение уравнения (4.8) будем искать в виде
х'р = С exp(iu>t - ikpa). (4-9)
Если такое решение существует, то можно говорить о распространяющейся
волне с волновым числом к = 27г/Л и с постоянной амплитудой С. Причем
величина ка характеризует изменение фазы при переходе от р-й частицы к (р
+ 1)-й, т. е. хр+1 = xpexp(-ika). После подстановки (4.9) в (4.8)
убеждаемся, что решения вида (4.9) существуют, если w и к удовлетворяют
трансцендентному уравнению
2 л ^ . 2 kla /а 1 п\
w - 4 2_j sm (4.10)
l>0
которое обычно называют дисперсионным.
Из дисперсионного уравнения видно, что частота и> является
периодической функцией волнового числа к с периодом 2ж/а. поэтому
все возможные колебания можно найти, рассмотрев изменение к: в интервале
-ж/а ^ к ^ ж/а. Предположим теперь, что в решетке каждая частица
взаимодействует только с ближайшими соседними. Тогда вместо (4.8) и
(4.10) имеем
d2 х*
m= W"(x'p+1 + х'р^ - 2х'р), (4.11)
dt2
"2=4ЦЧп 2lf, (4.12)
64
Глава 4
где I = 1, a W" = W". Частоты колебаний, соответствующие (4.12),
приведены на рис. 4.2. Заметим, что при малых ка (ка -С 1. т. е. a <SC Л)
из (4.12) следует равенство
представляющее собой линейный закон дисперсии.
Рис. 4.2. Закон дисперсии одномерной цепочки из одинаковых равноудаленных
частиц: сплошные кривые - основной интервал изменения волнового числа fc;
штриховые - их периодическое продолжение
Вернемся к более общему случаю уравнения (4.10), когда на каждую частицу
действуют силы со стороны всех других частиц, удаленных от
рассматриваемой на расстояние, не большее произведения числа этих частиц
на а. Заметим, что такая ситуация характерна для цепочки карбида и для
недавно открытых спиральных полимеров. Соответствующая дисперсионная
характеристика приведена на рис. 4.3 [2]. Из нее следует, что в этом
случае волновое число является многозначной функцией частоты.
Представляют интерес одномерные решетки, состоящие из двух сортов
чередующихся частиц с массами mi и т2 (рис. 4.4). Пусть частицы
расположены на равных расстояниях друг от друга и находятся в таком же
силовом поле, как в предыдущей задаче. Эта модель соответствует,
например, решетке хлористого натрия, в которой чередуются атомы хлора и
натрия. Полагая, что взаимодействуют только соседние частицы, запишем
уравнения для каждого сорта частиц (четные номера соответствуют частицам
с массой т2,
Рис. 4.3. Дисперсионная характеристика одномерной решетки при учете
