Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Выч /- -Z(w') =
ш' = - yj ш 2 - 2iujg 4 '
=-------------------~[w2 + Wq + /32 + 2w0\/w2 - 2iu>g- 2iuig]~1.
27ryw2 - 2/wg'
^____________________________________ (3.14)
^ J [(w'2 - w2) + 2iwg] [(w' - w0)2 + /32]
58
Глава 3
Если (3 - малая величина (/3 о;0) и ш -> и;0, то
Выч ш'=шо+^ 1{ш') = [{шо ~ и2) + 2гш(/? + g)] ,
а
Выч , Г-^----:- f(w') =
u' = - у/ш2 - 2iujg J v '
----------@а° -{J1 + Wq + 2ш0\Л<;2 - 2iwg- 2iwg]_1 ~ /3 "; w0-
27Ti/o;2 - 2?o;g
В частности, при а" = о;0 и g = О
Вычш-=Ш0+^ f(w ) = ~2^ 2w0/?'
Выч , ___/(w') = -^20-1_;
u' = -^u>--2iwg J 2л* 4cJq
вторым вычетом можно пренебречь по сравнению с первым.
Окончательно будем иметь [7]
у = 2тп V Выч = -------------^------------. (3.15)
Оо - w2) + 2iu>(g + (3)
Из этой формулы следуют замечательные выводы: 1) поляризуемость среды,
состоящей из осцилляторов с лоренцевым распределением по частотам,
получается такой, как будто это ансамбль тождественных осцилляторов с
собственной частотой и>о и коэффициентом затухания g + (3; 2) даже если
среда чисто консервативная (g = 0), "усредненный по ансамблю" осциллятор
все равно обладает затуханием /3. Как объяснить эти эффекты? Вспомним,
что осциллятор можно представить в виде вектора, вращающегося на
плоскости с частотой ш' подобно стрелке часов, движущейся по циферблату.
Если все осцилляторы одинаковы, и мы запустим их в одной фазе, то
суммарный отклик такой системы на действующее поле равен произведению
числа осцилляторов на отклик одного осциллятора. Но если осцилляторы
немного отличаются друг от друга по частоте, то, даже запущенные в одной
фазе, они через достаточно большое время равномерно распределятся по
циферблату и каждому отклику найдется противофазный отклик, так что общий
отклик системы на внешнее воздействие будет равен нулю. Характерное
время, за которое векторы разойдутся на 7Г и суммарные колебания в
системе затухнут, равно т ~ 1//3.
3.2. Колебания в ансамбле осцилляторов
59
Если осцилляторы тождественны, но связаны между собой, а связь
произвольна, то, переходя к нормальным частотам, мы вновь получим "газ"
невзаимодействующих осцилляторов, но с различными частотами. Таким
образом, задача сведется к предыдущей.
Глава 4
Колебания в упорядоченных структурах. Предельный переход к сплошной
среде. Волны. Дисперсия
4.1. Общие замечания
"Простейшее твердое тело - это, по-видимому, твердый аргон. Он состоит из
правильно расположенных нейтральных атомов с крепко связанными
электронными оболочками. Эти атомы удерживаются вблизи друг друга силами
Ван-дер-Ваальса, которые действуют в основном между ближайшими соседями в
решетке. Физические процессы в таком кристалле связаны с тепловым
движением атомов вблизи своих идеализированных положений равновесия. Для
простейшего описания такого движения используется модель Эйнштейна,
согласно которой каждый атом колеблется подобно простому гармоническому
осциллятору в потенциальной яме, образованной силами его взаимодействия с
соседями". Так начинается в книге Дж. Займана [1] глава "Колебания
решетки".
Решетка представляет собой самый наглядный объект, который естественно
назвать упорядоченной структурой из осцилляторов. Простыми примерами
модели упорядоченной структуры, в которой тождественные осцилляторы
связаны между собой не любым, а определенным образом, являются: линейная
цепочка из одинаковых частиц, расположенных вдоль прямой на равных
расстояниях друг от друга (одномерная решетка из одинаковых частиц);
механическая система, состоящая из набора маятников; цепочка из ГС-
элементов; бесконечный ряд одинаковых акустических резонаторов; цепочка,
образованная из магнитов,и др.
В предыдущей главе мы пришли к выводу, что совокупность независимых
нейтральных атомов, фиксированных в пространстве (простейшая модель
твердого тела), ведет себя в отношении дисперсии и поглощения как
ансамбль классических невзаимодействующих неодинаковых осцилляторов.
Теперь модель будет заведомо иной. Наиболее
4.2. Колебания в упорядоченных структурах
61
грубую модель, соответствующую описанному Займаном твердому аргону, можно
представить как систему правильно расположенных в пространстве шариков,
связанных друг с другом пружинами. Если один шарик сместить из положения
равновесия, то будут смещаться и соседние - по всей упорядоченной
структуре побежит волна. Волны, бегущие в твердом теле или другой
упорядоченной структуре, характеризуются длиной волны А и частотой ш,
которые удовлетворяют закону дисперсии
к = 27г/А. Из (4.1) следует, что волна с определенным волновым вектором к
имеет и определенную частоту; это позволяет рассматривать волну как
осциллятор, совершающий колебания с частотой w(k). Тогда мы вновь
приходим к аналогии между поведением твердого тела и "газа" осцилляторов,
движущихся независимо друг от друга. Правда, в движении нового
элементарного осциллятора участвуют все атомы твердого тела. Волне
(осциллятору) можно поставить в соответствие квазичастицу с энергией § =
