Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 761

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 755 756 757 758 759 760 < 761 > 762 763 764 765 766 767 .. 942 >> Следующая

а не на самих молекулах, как считал Рэлей [1].
3.1. Классическая теория дисперсии
55
где (3 = 1/т, а т = I/7 - характерное время релаксации. Выражения,
стоящие в квадратных скобках в формулах (3.8) и (3.9), часто встречаются
в различных задачах спектроскопии и носят название ло-ренцева контура
спектральной линии. Выражение в квадратных скобках (3.9) называют
контуром поглощения, причем ширина лоренцевой линии позволяет измерять
время релаксации исследуемого вещества. Заметим, что модель среды из
идентичных невзаимодействующих осцилляторов является весьма
универсальной. Действительно, рассматривая вместо "электрона на пружине"
"ядро на пружине", можно вычислить прочность химических связей между
атомами в молекуле. Для этого нужно определить частоты и>о, которые лежат
в инфракрасной области спектра [3].
В реальной ситуации атомы-осцилляторы не тождественны друг другу.
Приведет ли это к качественно новым эффектам? Поскольку диэлектрическая
проницаемость среды - это сумма проницаемости вакуума и откликов каждого
из невзаимодействующих осцилляторов на действующее поле, найдем суммарный
отклик:
В классических (не квантовых) моделях вещества предполагается, что среда
состоит из электронов и ионов - частиц, имеющих различные заряды е*,
массы ти и концентрации N^, которые и составляют ансамбль
невзаимодействующих затухающих линейных осцилляторов с разными
собственными частотами u>k и коэффициентами затухания 7*.
Изложенная классическая теория дисперсии и поглощения является, очевидно,
модельной, причем в модель привнесены квазиупругие силы - qx и силы
трения -gx, которых нет в атомах и молекулах: все силы, действующие
внутри них, имеют электрическую природу.
Что же дает квантовомеханическая теория дисперсии и поглощения? Пусть
электромагнитная волна действует на совокупность невзаимодействующих
нейтральных атомов, фиксированных в пространстве и содержащих только по
одному электрону (простейшая модель твердого тела). Используя
нестационарную теорию возмущений [4], для вещественной части
диэлектрической проницаемости можно получить
(3.10)
(3.11)
56
Глава 3
где fk - сила осциллятора для перехода в к-е состояние, причем
ехок = / ФобтФй - матричный элемент компоненты дипольного момента
электрона в направлении вектора напряженности электрического поля; Фо(г)
- волновая функция основного состояния атома. Ф*(г) - волновая функция
возбужденного состояния атома.
При выводе (3.11) не учитывались эффекты естественного радиационного
затухания уровней, уширения спектральных линий из-за примесей и т. д.
Феноменологический учет подобных факторов приводит к формуле (3.10), если
в ней заменить JV*. на N fk и считать е*, = е, гпк = т.
3.2. Колебания в ансамбле нетождественных
невзаимодействующих осцилляторов с заданной функцией распределения
Рассмотрим поведение среды из невзаимодействующих осцилляторов, имеющих
заданную функцию распределения по частотам. Это, например, молекулы газа,
имеющие разные скорости. Если свойства осцилляторов меняются непрерывно,
то проницаемость среды может быть получена из рассуждений, аналогичных
использованным при выводе (3.10), но с помощью интегрирования. В том
случае, когда мы различаем осцилляторы лишь по собственной частоте и/,
поляризуемость среды, содержащей в единице объема N атомов, запишется
так:
где сед = 7re2/m, a N(oj') - функция распределения числа осцилляторов по
собственным частотам и/, которая и определяет свойства "газа" из
различающихся элементарных осцилляторов.
Для вычисления х нужно задать распределение JV(w'). Пусть JV(w') - часто
встречающееся распределение Лоренца (3.9):
fk =
(ft?) ^\x0k\2,
ОС
(3.12)
N(u>') =/?[(и/-ш0)2+/?2] \
(3.13)
3.2. Колебания в ансамбле осцилляторов
57
где /3 - ширина лоренцевои линии (рис. 3.3). Проинтегрировав (3.12) с
учетом (3.13), обнаружим, что среда ведет себя как усредненный
осциллятор, свойства которого определяются функцией распределения.
Рис. 3.3. Лоренцев контур линии: wo - частота, на которой N(lo')
достигает максимального значения 1//3; ширина лоренцевой линии (До/ = /3)
определяется на уровне 1/2/3
(о0 со'
С помощью теоремы о вычетах возьмем интеграл [5, 7]
X
переходя к интегрированию по контуру и полагая для простоты g не
зависящим от о/. Выберем в качестве контура интегрирования контур,
охватывающий верхнюю полуплоскость. Найдем полюсы подынтегральной функции
в (3.14), которые совпадают с нулями знаменателя и лежат в верхней
полуплоскости. Имеем: 1) о/ = wo + г/3 (так как выбранный контур
охватывает верхнюю полуплоскость, значение w' = = шо - г/3 нас не
интересует): 2) ш' = - (сц2 - 2itog)1/2 (значение w' = = (сц2 - 2iuig)1/2
лежит в нижней полуплоскости).
Найдем вычеты для интеграла (3.14). Поскольку
р{ш') = [{и'2 - сц2) + 2iujg) [(о/ - сц0)2 + /З2],
р' (^')\ш'=шо+г/3 = |2u/[(u/ - Wo)2 + /З2] + 2(w; - Wo) х
х [(w'2 - w2) + 2iwg] } . = 2*73 [(w02 - w2 - /32) + 23w(/3 + g)],
> ш'
TO
ВычШ'=Шо-н/з Z(w') = 2^7 [(^0 - w2 -/32) + 2iw{/3 + g)}~1. Аналогично
Предыдущая << 1 .. 755 756 757 758 759 760 < 761 > 762 763 764 765 766 767 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed