Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 732

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 726 727 728 729 730 731 < 732 > 733 734 735 736 737 738 .. 942 >> Следующая

значений решения в узловых точках, а именно
Коэффициенты Aij находятся из требования, чтобы левая часть соотношения
(6.4.25) точно равнялась правой для функций у = 1, У = т2, у = г4, ..., у
= г2п~2. Последовательно подставляя эти функции в формулу (6.4.25),
получим
При каждом фиксированном / соотношения (6.4.26) представляют собой
систему п линейных алгебраических уравнений
П
(6.4.25)
П
0=1, Аф
* = 1
п
(6.4.26)
Я
(2л - 2) (2л - 3) г2п~4 + у-(2л - 2) rf~3 = ? Atjrf~2.
22 М. Холодниок и др.
338
Глава 6
относительно неизвестных коэффициентов Ац. Найдем решения этих систем при
/ = 1, 2, ..., п - 1 (в случае j = n это оказывается излишним, поскольку
в точке г == 1 у нас задано г/ = 1).
Используя аппроксимацию (6.4.25) для у и 0, мы получаем из исходных
уравнений (Р16-11), (Р16-12) систему обыкновенных дифференциальных
уравнений для функций yi{t) = y{rj,t),
е, = 0(гЛО. /= 1,2 , п - 1:
Lw -JT = Е А':iyi ~ ф2у1 ехР ТЙТГ ' (6.4.27)
i=i
= Z ф2у/ ехР 1 +Lh (6.4.28)
i~ 1 ч
(напомним, что yn(t) =1 и6"(0 = 0).
Положим теперь п = 2, т. е. выберем лишь одну внутреннюю точку г 1, а
также точку r% = 1. Система уравнений (6.4.26) для / = 1 приобретает вид
A2i "Ь = 6> A2i =2(1 +а),
откуда
Лп = -2(2 +,Д) =Р, Ап = - Ц +-~ = -Р- (6.4.29)
г j - 1 г I - 1
Дифференциальные уравнения (6.4.27), (6.4.28) принимают
в этом случае вид
Lw Чг = Р (У1 - Ц - ф2у1 ехР 1 + ejy ' (6-4.30)
^ = рб, + уРФ2У 1 ехр
(здесь уже использованы условия y2(t)= 1, @2(^) = 0).
Весьма существенным является в данном случае выбор координаты г\.
Вилладсен и Стюарт [6.30] рекомендуют выбирать в качестве г\ нуль
подходящего ортогонального полинома. Рекомендуемые ими значения г\ (нули
неких полиномов Якоби) даются следующей таблицей:
а п Р
0 0,4472 -2,5
1 0,5773 -6
2 0,6547 -10,5
6.4. Методы динамического моделирования
339
Для стационарного решения системы (6.4.30) имеет место соотношение
@i = yP(! - */i)> (6.4.31
аналогичное формуле (Р16-15). Подставляя его во второе из уравнений
(6.4.30) (при (c)i =0), получаем
р(у, - 1) - Ф2у, ехр Л ^= 0- (6.4.32)
В табл. 6.12 приведена зависимость от Ф, подсчитанная с помощью метода
отображения параметра Ф для последовательности значений ух. Сравнивая ее
с табл. 6.9, можно заметить качественное совпадение зависимостей решений
от параметра (yi соответствует значению г = 0,4472!). При Р = 0,05
зависимость однозначна, при р " 0,25 у нас возникают кратные решения, а
при р = 0,4 в некотором диапазоне изменения параметра Ф существуют три
стационарных решения данной задачи.
Таблица 6.12. Зависимость решений уравнения (6.4.32) от параметра Ф для
задачи 16, у = 20, а = 0, р = -2,5.
1/1 Ф
0=0,05 0 = 0,2 0 = 0,25 0=0,4
0,95 0,354 0,329 0,321 0,298
0,9 0,501 0,433 0*413 0,359
0,85 0,617 0,496 0,463 0,377
0,8 0,716 0,538 0,491 0,377
0,75 0,807 0,567 0,507 0,368
0,65 0,977 0,603 0,519 0,340
0,55 1,148 0,626 0,520 0,311
0,45 1,338 0,649 0,522 0,288
0,35 1,573 0,682 0,532 0,274
0,3 1,722 0,707 0,545 0,271
0,25 1,908 0,743 0,565 0,272
0,2 2,153 0,796 0,597 0,280
0,1 3,084 1,032 0,756 0,336
0,05 4,379 1,396 1,011 0,439
Динамическое поведение системы (6.4.30) может подсказать нам, как будет
вести себя исходная система двух дифференциальных уравнений с частными
производными, динамическое моделирование которой требует больших затрат
машинного времени. Выбор п = 3 может дать нам более точные результаты.
Более подробно результаты исследования задачи 16 приведены в работе
[6.19], а для других задач - в работе [6.4].
22*
340
Глава 6
6.5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ
В этом параграфе мы рассмотрим методы нахождения периодических решений в
распределенных системах. Эти методы требуют обычно больших затрат
машинного времени и большого объема памяти ЭВМ, и поэтому здесь трудно
проводить достаточно полное параметрическое исследование системы. Большей
частью речь здесь идет о численном (машинном) эксперименте. Сами методы
будут описываться лишь в краткой форме. Во второй части параграфа мы
коротко рассмотрим решения волнового характера, которые также могут
появляться в системах, описываемых нелинейными параболическими
уравнениями.
6.5.1. Вычисление периодических решений и процесс продолжения
Периодическое (во времени) решение системы типа "реакция-диффузия"
(4.3.7) с заданными граничными условиями по определению удовлетворяет
тождествам
x(z,t + T) = x(z,t), y{z, t + T) = y(z, t) (6.5.1) при ге[0, 1]. Здесь Т
- период данного решения.
Рис. 6.13. Периодическое решение задачи 11 при ГУ1; А = 2, В = 5,45, Dx =
0,008, Dy = 0,004, L = 0,75; период Т = 3,12.
Простейшим подходом для нахождения устойчивого периодического решения
является использование какого-либо из методов динамического моделирования
(см. § 6.4) в течение достаточно большого промежутка времени t, за
который решение системы стабилизируется, становясь (приближенно)
периодическим. Эта стабилизация может зависеть, конечно, от начальных
Предыдущая << 1 .. 726 727 728 729 730 731 < 732 > 733 734 735 736 737 738 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed