Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
опровергается контрпримерами Германа для любого S<3.- Прим. ред.
194
Глава 3
чаях инвариантные кривые могут существовать и при двух непрерывных
производных возмущения в гамильтониане.
Расчеты, приводящие для двух степеней свободы к условию (3.2.30), были
выполнены Чириковым [70] в общем виде для N степеней свободы. Он получил
следующее необходимое условие существования инвариантных торов 4):
S>2N - 2. (3.2.33)
Для этого же случая Мозер [309] получил строгое достаточное условие
S>2N + 2 (3.2.34)
в предположении, что величина у, стремящаяся к нулю вместе с е, выбрана
также достаточно малой. Отметим, что это более сильное
требование, чем гипотеза Мозера S> 3 для двумерных отобра-
жений 2).
Достаточная иррациональность и умеренная нелинейность. Предполагая, что
сумма в (3.2.29) сходится к некоторому о, мы видим, что инвариантные
кривые не существуют, если а = со^соа лежит внутри одного из
заштрихованных на рис. 3.2, в интервалов 3). Так как ширина этих
интервалов пропорциональна (еG)'1' и убывает с ростом q, то необходимо,
чтобы величина а лежала достаточно далеко от любого рационального
значения plq. При малых е это условие легко выполнимо, но с ростом е
инвариантные кривые существуют лишь для таких иррациональных а, которые
наиболее плохо аппроксимируются рациональными числами. С этой точки
зрения самым иррациональным числом является золотое сечение: а = (д/5-
l)'2 = ag. Грин [165] дал очень точный критерий возникновения сильной
стохастичности в предположении4), что инвариантная кривая с a = ag
разрушается последней (с ростом е). Мы опишем метод Грина и его
результаты в гл. 4.
Положив левую часть (3.2.29) равной единице, получим условие малости
возмущения е:
4 (2eGA0)'/2 с< , (3.2.35)
а -
1) Обобщение этого результата на случай явной квазипериодической
зависимости от времени дано в работе [477].- Прим. ред.
2) Оценку Мозера (3.2.34) можно, по-видимому, улучшить, если учесть, что
фактически гладкость по одной из N фаз несущественна (см. примечание
редактора на с. 192), т. е. IV N-1. Считая, как и выше, S параметром в
(3.2.27) (см. примечание редактора на с. 193), получаем S >2N-1. Оценка
(3.2.33) при этом не изменится.- Прим. ред.
3) Правильнее сказать, что пока мы не уверены, существуют ли инвариантные
кривые внутри этих интервалов. На самом деле размер областей, где они
действительно разрушаются, много меньше (см. [70] и п. 4.26).- Прим. ред.
4) Обсуждение этой гипотезы см. в работе [76].- Прим. ред.
Отображения и линейная устойчивость
195
а также (при заданном е) некоторое ограничение на нелинейность сверху.
Используя выражения (3.2.18) и (3.2.35), приходим к условию умеренной
нелинейности
32еЛп _ со?
¦---г2- <°<---------- -¦ (3.2.36)
^ 32еЛ0а2
При этом в (3.2.18) мы положили (r2/q2) Hrs~Ag. Аналогичные оценки были
получены Чириковым [70].
При доказательстве теоремы КАМ [308] возмущение е приходится, вообще
говоря, полагать чрезвычайно слабым. Чириков [67 ] нашел, что критическую
величину возмущения можно оценить из условия перекрытия целых резонансов,
изображенных на рис. 3.2, б. Численные эксперименты показали, что этот
критерий дает разумную оценку для величины возмущения, при которой
разрушаются последние инвариантные кривые, проходящие между этими
резонансами. Используя аналитические и численные результаты с учетом
дробных резонансов q = 2 и q = 3, Чириков [70 ] усовершенствовал критерий
перекрытия и получил весьма точные предсказания для границы
стохастичности. Критерий перекрытия резонансов и связанные с ним другие
критерии перехода к стохастичности для некоторого класса типичных
возмущений будут подробно рассмотрены в гл. 4.
* 3.26. Рациональные числа вращения и структура резонансов
Продолжим изучение возмущенного отображения поворота (3.1.13). Как мы уже
знаем, согласно теореме КАМ, инвариантные кривые с иррациональным
значением а, достаточно удаленным от рациональных значений r/s, сохраняют
свою топологию и лишь слегка деформируются при малом возмущении. Однако
при рациональных значениях а = r/s и вблизи них теорема КАМ неприменима.
Для исследования структуры отображений в этом случае воспользуемся более
ранней теоремой.
Теорема Пуанкаре-Биркгофа. В случае невозмущенного отображения поворота
(3.1.8) любая точка на окружности а (J) = r/s является периодической1) с
периодом s (см. рис. 3.1,6). Теорема Пуанкаре-Биркгофа утверждает, что
возмущенное отображение поворота будет иметь 2ks периодических точек (k =
1, 2, . . .). Поясним это, используя рис. 3.3.
Предположим для определенности, что а (J) возрастает с J. Тогда вне
кривой, соответствующей рациональному значению а (J) = r/s, существует
инвариантная кривая a>r/s, которая после
Т В оригинале - fixed point (неподвижная точка), термин, который
относится не к исходному отображению Г, а к его s-й степени Ts, т. е. к
отображению после s итераций.- Прим. перев.
196
Глава 3
s итераций отображения окажется повернутой против часовой стрелки
