Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
~г plq, где р, q - целые числа и p<Zq. В (3.2.11) при / = q это
соответствует целым числам
т(р, q) = p + sq. (3.2.23)
Используя выражение (2.4.31) для ширины сепаратрисы отдельного резонанса
А/1==4 ^ 2&I^.rn .у/^
Б Поскольку характер ее движения вообще не зависит от величины е, которая
определяет лишь масштаб времени.- Прим. ред.
2) Принятое выше условие шг = со2 = 0 означает наличие двух независимых
резонансов в невозмущенной линейной системе (3.2.20). Отсутствие таких
резонансов и есть дополнительное условие применимости теории КАМ к
вырожденным системам (см. примечание редактора на с. 190).- Прим. ред.
192
Г лава 3
а также соотношения = qAJx и G = qdH0!dJ\ = q G, получаем
2 ДЛ-(3.2.24)
am ' P. Q
где суммирование производится по всем вторичным резонансам. Поскольку
ДЮ1 = _^L_ Д/j = GAJU (3.2.25)
dJ i
то отношение суммарной ширины вторичных резонансов, заштрихованных на
рис. 3.2, в, к расстоянию между первичными резонансами равно
SAwj 4(2 гС?)!2
бо>1 0>2 р, Q
S (3.2.26)
Предположим теперь, что возмущение в гамильтониане имеет S непрерывных
производных. Так как величина т пропорциональна <7, то фурье-амплитуды
убывают при больших q по закону *)
Л,
(з-2-27)
где Л0 - некоторая постоянная. Подставляя эту оценку в (3.2.26 и замечая,
что
'ZH'lin-qH^, (3.2.28)
получаем
2 A(ot 4 (2eGA0)1/2 -у - s 2
2 q 2. (3.2.29)
6(0! С02 9=1
При 5>2 эта сумма сходится к некоторому положительному числу
о. Таким образом, независимо от коэффициента перед суммой мы
приходим к важному условию существования инвариантных торов:
5 >2. (3.2.30)
Можно сравнить этот результат с условием применимости теоремы КАМ,
записав соотношение (3.2.3) для случая двух степеней свободы в виде
(Й! г
(02 s
YS-(T+1). (3.2.31)
*) В случае двух степеней свободы достаточно наложить условие на
гладкость только по одной из фаз, так как зависимость от другой фазы
можно исключить переходом к отображению. Оценка для коэффициентов Фурье
(3.2.27) справедлива при следующих дополнительных условиях (см.,
например, [548]): 1) \Hqm \ убывают монотонно с q; 2) (S -f- 1)-я
производная ограничена и имеет конечное число разрывов.- Прим. ред.
Отображения и линейная устойчивость
193
Левую часть этого неравенства можно рассматривать как относительную
ширину одного из дробных резонансов, которая исключается неравенством
(3.2.31). Просуммируем теперь по всем дробным резонансам, лежащим между
двумя целыми резонансами, т. е. на единичном интервале отношения частот
со1/со2, учитывая, что число возможных значений г на этом интервале не
превышает s. Суммарную величину исключаемого интервала Ж (по мере Лебега,
см., например, [374]) можно найти, умножая (3.2.31) на s и затем суммируя
по s. Получаем
оо
Ж> tSs"T. (3.2.32)
S=1
Сравнивая выражения (3.2.32) и (3.2.29), мы видим, что т соответствует
величина 5/2, а 7 ~ (еСЛ0)'/2/со2. Как и в (3.2.29), сумма в (3.2.32)
сходится при т>1. Как показал Мозер (см. [374]), этого хватает для
существования инвариантных торов. Если учесть, что гамильтониан (3.2.11)
является интегралом соответствующего отображения [см. (3.1.27)], то
отсюда можно прийти к заключению, что для существования инвариантных
кривых двумерных отображений достаточно двух непрерывных производных для
самого отображения или трех производных для соответствующего
гамильтониана. Мозер утверждает [310], что для доказательства
существования инвариантных кривых достаточно потребовать1) 5>4, и
высказывает предположение, что это условие можно фактически ослабить до
5>3. Приведенные в п. 3.46 численные данные указывают на существование
инвариантных кривых 2) при 5 > 2, аналогичный результат был получен
Чириковым [70]. Однако при 5 = 0 это уже не так (п. 3.46). С другой
стороны, Тэкенс [402] построил пример, в котором нет инвариантных кривых
и при 5 = 2. Таким образом, как и Мозер [310], мы можем предположить, что
условия 5>3 всегда достаточно для существования инвариантных кривых 3).
Можно также думать, что в некоторых слу-
J) Здесь и ниже приведены значения S для гамильтониана. Следует иметь в
виду, что в общем случае параметр гладкости S может быть и не целым
числом, как это видно из фурье-представления возмущения (3.2.27).- Прим.
ред.
2) Этот вывод противоречит условию (3.2.30) и является спорным, в
частности, в работах [70, 475] интерпретация аналогичных численных данных
совсем иная (см. примечание редактора на с. 227).- Прим. ред.
8) При сравнении условия (3.2.30) с цитированными результатами
математических работ следует иметь в виду, что в последних
рассматриваются любые возмущения определенного класса непрерывности (по
Гёльдеру) С1, не ограниченные неявно принимаемыми в основном тексте
дополнительными условиями (см. примечание редактора на с. 192). Если
понимать S как параметр убывания коэффициентов Фурье в (3.2.27), то
утверждение Мозера соответствует S>3 и подтверждается последними
результатами Германа и Рюссмана (см. [476]), а гипотеза Мозера S> 2
