Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
dj idJ j
Поучительно получить соотношение (3.2.12) с помощью резонансной теории
возмущений (§ 2.4). Используя производящую функцию (2.4.5),
A2 = (t0i-s02)71 + 8272, (3.2.14)
перейдем в гамильтониане (3.2.11) к новым переменным (2.4.6). Разлагая
гамильтониан в окрестности резонансного значения переменной действия и
усредняя по быстрой фазе, находим в низшем порядке по е:
АЯ = ^0 - 2&Hrs cos 0J, (3.2.15)
dl\ 2
где для простоты амплитуда Hrs принята действительной. Если d'2H0fdJ2u то
нелинейность появляется лишь в более высоком порядке, и ширина
сепаратрисы не будет ограничена величиной порядка е1/2. Таким образом, мы
получили условие на нелинейность, эквивалентное (3.2.12):
G=~(3.2.16) 3J2
Это условие разделяет системы на невырожденные (д2Н0/д~Д Ф 0)) или сильно
нелинейные, и вырожденные {d2H0/dj\ = 0), или слабо нелинейные, Именно
невырожденные системы удовлетворяют условиям теоремы КАМ. Покажем
эквивалентность условий (3.2.16) и (3.2.12). Представляя (3.2.16) в виде
д2Н0 д__/ дНо dJi дН0 dj2 (3217)
! V dJx dJx dJ2 d~Jx J
dj\ dJ
и учитывая, что dJ JdJx - r, a dJ2/dJ1 - - s, получаем (3.2.12).
190
Глава 3
Величину необходимой нелинейности G при заданном е можно оценить,
потребовав, чтобы максимальное изменение переменной действия AJ1 было
много меньше невозмущенного значения /0. Полная ширина сепаратрисы равна
AJ1 = rAJ х. Используя
(3.2.15), находим
4г(_2еЯ?!_),/2<<у°>
или
G > . (3.2.18)
Jb
Вырождение, при котором не выполняется условие (3.2.10), встречается во
многих системах, представляющих физический интерес. Возникает
естественный вопрос: существуют ли инвариантные кривые для таких систем?
Представляется, что обычно, хотя и не всегда, общая структура теории КАМ
сохраняется и в этом случае х). Мы уже рассматривали два таких примера:
задачу Хенона-Хейлеса (§ 1.4) и резонанс волна-частица (§ 2.4). Еще один
пример - "эффекты встречи" в накопительных кольцах [404] 2). Во всех этих
задачах не зависящая от фаз часть гамильтониана имеет вид
Я0 = сй0.У-:-еЯ10(У), (3.2.19)
а нелинейность возникает из члена возмущения с т = 0. Хотя величина
нелинейности G порядка е, условие на нелинейность
(3.2.18) все еще может выполняться. Таким образом, инвариантные кривые
могут существовать и для вырожденных систем. Если теперь рассмотреть
резонансы второго и более высоких порядков, как это было сделано в § 2.4,
то соответствующие им гамильтонианы оказываются, как правило,
невырожденными. Таким образом, структура фазового пространства
вырожденных и невырожденных систем является, вообще говоря, сходной.
Отметим, что есть также особые случаи вырождения, когда инвариантные
кривые не существуют. Интересным примером служит система, рассмотренная
Лансфордом и Фордом [286], а также Контопулосом [89]. Следуя Контопулосу,
запишем гамильтониан системы в виде
Н = а111 -г со2/2 -f w3/3 -f- е [a cos (щвг 1 тг% ; -m393) +
-j- P cos (^0! - n2Q2 -i- "з^з)], (3.2.20)
где аир - некоторые нелинейные функции h, a miy л* - целые числа. Так как
гамильтониан зависит только от двух линейных
г) Обобщение на вырожденные системы проведено Арнольдом и Мозером (см.
[11], § 10 и [374], § 34).- Прим. ред.
2) См. также [207].- Прим. ред.
Отображения 11 линейная устойчивость
191
комбинаций фаз, то преобразование вида (2.4.5) оставляет лишь две новые
фазы:
Н = w,7i-f ю272 + со37з + 8 [acos0! + рcos02], (3.2.21)
где 0! = m1Q1 + m202 + m303, 02 = я^ + я202 + я303, cox = = яг1(о1-
яг2со2 т3со3 и т. д. Поскольку гамильтониан не за-
висит от 03, то /3 - сохраняется, и задача приводится к двум степеням
свободы. Однако если выбрать частоты так, что со х = со 2 = О, как это
сделали Лансфорд и Форд, то гамильтониан приведенной системы принимает
вид
Н = е [a cos 0Х + р cos 02]. (3.2.22)
В отличие от задачи с волной (см. п. 2.4в) разделение на быстрые и
медленные переменные здесь невозможно. Следовательно, неприменима и
резонансная теория возмущения. Фактически рассматриваемая система вообще
не имеет малого параметра *), т. е. не близка к интегрируемой. В таком
случае нет основания ожидать существования инвариантных кривых даже в
пределе е ->- 0. Это и было обнаружено Лансфордом и Фордом путем
численного интегрирования уравнений движения 2).
Условие на гладкость возмущения. Необходимую гладкость возмущения (число
его непрерывных производных) можно определить, исходя из представления о
том, что инвариантные кривые существуют только вне всех резонансных
областей. Если все фазовое пространство между двумя резонансами низшего
порядка заполнено другими резонансами, разумно заключить, что
инвариантные кривые здесь не существуют. Рассмотрим снова простейший
случай двух степеней свободы с гамильтонианом (3.2.11). Будем считать,
что невозмущенный гамильтониан Н0 зависит от J2 линейно, и положим и1/и2
= s. Тогда расстояние между целыми резонансами по частоте бсс^ - со2 -
const и не зависит от J1 и /2 (см. рис. 3.2,6). Между этими целыми
резонансами расположены дробные резонансы с отношением частот и1,чо2 = s
