Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 5.42 изображены зависимости 1- и 2-периодических решений от
параметра а (амплитуды внешнего возбуждения). При этом на графике
зависимости Х(0) от параметра а каждое 2-периодическое решение изображено
дважды. В точках
5.11. Расчет и анализ периодических решений
261
Рис. 5.41. Орбиты отображения Пуанкаре системы (5.11.12); А - 2, В - 6.
а) а = 0,7, (о = 3: 7- периодическое решение, Ь) а = 0,8, а = 3: 8-
периоди-ческое решение, с) а = 0,9, а = 3: 9-периодическое решение, d) а
= 0,5, а = 6: квазипериодическое решение, е) а = 0,6, ш = 3: хаотический
аттрактор, f) а = 1, а = 3: хаотический аттрактор.
Рис. 5.42. Диаграмма 1- и 2-периодических решений системы (5.11.12); Л=2,
В = 6, а = 3; сплошные линии - устойчивые решения, штриховые -
неустойчивые решения, • - точка бифуркации удвоения периода.
262
Глава 5
бифуркации "-1" от 2-периодического решения ответвляется 4-периодическое
(на рисунке оно не изображено). Отмеченный недостаток изображения на
диаграмме решений проявляется
0,6 а 0,8 0,4 0,6 0,8 а 1,0
Рис. 5.43. Диаграммы ^-периодических решений для системы (5.11.12); А =
2, В = 6, ш = 3, Ах - амплитуда переменной X. a) k = 7, точками
обозначены решения, отличающиеся лишь сдвигом на 1/7 периода; b) k = 6,
с) k = 7,
ср. рис. а).
еще более заметно у fe-периодических решений, где k достаточно велико.
Примером служит диаграмма 7-периодическоп> решения (рис. 5.43а), на
которой каждое решение изображено семикратно (см., например, решение,
обозначенное жирными точками). Если вместо Х(0) по оси ординат
откладывать амплитуду периодического решения, то мы получим диаграмму
5.11. Расчет и анализ периодических решений
263
решений, представленную на рис. 5.43с. На рис. 5.43Ь приведена диаграмма
6-периодических решений.
При анализе периодических решений неавтономных систем мы сталкиваемся с
проблемой, как найти какое-либо ^-периодическое решение, которое в
дальнейшем могло бы служить для запуска алгоритма продолжения. При
достаточно больших k вероятность "наугад" найти такое решение мала. Это
утверждение иллюстрирует табл. 5.32, в которой приведены результаты
применения метода Ньютона для системы уравнений (5.11.12) при случайном
выборе начальных значений для переменных
Таблица 5.32. Применение метода Ньютона для нахождения ^-периодического
решения системы (5.11.12), А = 2, В = 6, со = 3. Начальные значения
выбирались случайным образом из указанных промежутков, для каждого k было
выбрано 500 начальных точек
k Область выбора -'Х(О); Г(0); а Число найденных fe-периодических
решений Найденные т-пернодические решения, где k делится па m
1 0-10; 0-10; 0-1,5 416
2 0-10; 0-10; 0-1,5 233 105
3 0-10; 0-10; 0-1,5 0 422
4 0-10; 0-10; 0-1,5 1 360
5 0-10; 0-10; 0-1,5 0 311
6 0-10; 0-10; 0-1,5 7 291
7 0-10; 0-10; 0-1,5 89 260
8 0-10; 0-10; 0-1,5 1 425
9 0-10; 0-10; 0-1,5 38 331
10 1 - 1,75: 3,05-3,8; 0,65-0,85 8 342
11 1 - 1,75; 3,05-3,8; 0,65-0,85 24 338
Таблица 5.33. Некоторые 6-периодические решения системы (5.11.12), 4=2, В
= 6, ?0 = 3
k X (0) Y (0) а
1 0,9251 3,2882 1,8494
2 3,1524 1,7691 1,1178
4 0,8347 3,5742 1,0859
6 0,8637 6,0481 0,9147
7 4,2374 1,3613 0,4428
8 2,6479 3,1168 0,9073
9 1,4134 3,0942 0,5418
10 1,7472 2,7363 0,7684
11 0,8039 3,6594 0,9627
12 1,9849 2,5619 0,3824
264
Глава 5
тц=.Х'(0), 'П2 = У(0),а. В случае больших k ситуация осложняется тем, что
мы можем, задав k, найти m-периодическое решение, где k делится на т
(табл. 5.32 это подтверждает). В табл. 5.33 приведены найденные значения
переменных для различных А-периодических решений.
Нахождение точек бифуркации "+1" и "-1" производится совершенно
аналогично тому, как это делалось в случае автономной системы.
Ответвление 2&-периодических решений в точке бифуркации "-1" от семейства
A-периодических решений можно приближенно рассчитать с помощью метода,
описанного в-п. 5.4.2.
5.12. ЗАДАЧИ
Ниже приведено несколько задач для самостоятельного решения с помощью
подходов, описанных в данной главе.
5.12.1. Постройте диаграмму стационарных решений для задачи 1, используя
в качестве параметра переменную Л. Используйте метод отображения
параметра (см. § 5.2), выбирая последовательность значений (c). Параметры
задачи: у = 20, |3 = 0,, Da = 0,01, В = 6; 7; 8; 10; 12. Покажите, что во
всех указанных случаях существует интервал значений Л, при которых задача
имеет три решения. На найденной зависимости решения от параметра укажите
также характер устойчивости этого решения. Далее постройте эволюционные
диаграммы для Л, возрастающих и убывающих со временем.
5.12.2. Рассчитайте диаграмму решений задачи 5 в зависимости от параметра
Ki с помощью метода отображения параметра, описанного в § 5.2. Покажите,
что при Ki = Ю~5 существует три стационарных решения, два из которых
являются устойчивыми. Укажите на каждой ветви решений характер их
устойчивости. Затем постройте диаграмму решений в зависимости от
параметра Cso при Ki = 10-5.
5.12.3. Рассмотрим энзиматическую реакцию с конкурентным ингибированием
