Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
решение системы (5.11.1), так как Р (х0) = х0 -"-> х(Г; х0) = х0.
2. Если система (5.11.1), (5.11.2) (при фиксированном а) имеет ^-
периодическое решение, то k-я итерация, отображения Р имеет неподвижную
точку, поскольку если x(kT\xQ) = х0, то Р*(х0) = х0.
3. Устойчивость периодического решения определяется устойчивостью
соответствующей неподвижной точки отображения Р или Р*.
Так же, как в автономном случае, мы в принципе имеем две возможности для
нахождения периодического решения при фиксированном а, т. е. решения
нелинейной краевой задачи
(5.11.1), (5.11.3), где k заранее фиксировано. Первая из этих
возможностей связана с применением разностных методов (ср. с
соотношением (5.8.6)). Другая возможность заключается
в использовании метода стрельбы и связана с выбором
началь-
ных условий
xi (0) = Ло /=1,2,..., л. (5.11.5)
Решая уравнение (5.11.1) при условиях (5.11.5), находим при t = kT (ищем
fe-периодическое решение):
Xi^kT) = фг (тр, ...,Т1", а), /= 1, 2, ...,л. (5.11.6)
Для выполнения граничных условий (5.11.3) потребуем, чтобы
Ft Oil, • • •, Ля, а) = Фг Oil, • • ¦, ti", а) - тр = 0, i = 1, 2, ...,
п.
(5.11.7)
17 М. Холодниок и др.
258
Глава 5
Полученная система представляет собой систему п нелинейных уравнений с
параметром а, и для ее решения мы можем использовать методику, описанную
в § 5.1, а для продолжения решения по параметру - алгоритм DERPAR,
описанный в § 5.2. В отличие от автономного случая, где период не был
известен и поэтому одну составляющую r\k мы считали фиксированной, здесь
период kT задается заранее, а все составляющие вектора т) неизвестны.
Производные функций Ft мы опять находим с помощью проварьированных
переменных pi,- - dxi/dr\j, qt = = dxt/dа и уравнений в вариациях
Устойчивость найденного периодического решения определяется его
мультипликаторами - собственными числами матрицы монодромии
В = [дфг/дЛ/] = [рц {kT)\. (5.11.Ю)
Таким образом, изменение характера устойчивости периодического решения
вновь оказывается возможным лишь при переходе мультипликатора через
единичную окружность. Переход через 4-1, так же как и в автономном
случае, указывает на наличие точки поворота или точки бифуркации на
зависимости решения от параметра. Переход через - 1 дает нам ответвление
ветви периодических решений с двукратным периодом, т. е. периодом 2кТ.
Отображение Пуанкаре Р, определенное соотношением
(5.11.4), при численном интегрировании системы (5.11.1) реализуется с
помощью отображения "р, задаваемого формулой (5.11.6) при k = l. Выбрав
точку т| = т|°, мы (приближенно) получим траекторию отображения Пуанкаре
ц0, ц1, ..., ч\1, ...:
Изобразив на плоскости две выбранные координаты точек т)г {1 = 0, 1, 2,
...) траектории отображения Р, получим проекцию этой траектории на
заданную плоскость. Так же, как в автономном случае, процесс может
стабилизироваться, и мы будем последовательно (многократно) находить
совокупность k точек; этой совокупностью будет характеризоваться ^-
периодическое решение системы (5.11.1). Если же эти точки образуют в пло-
л*+1 =<р(У, а).
(5.11.11)
5.11. Расчет и анализ периодических решений
259
скости замкнутую кривую, то скорее всего речь идет о квази-периодическом
решении. Третья возможность состоит в том, что решение стабилизируется на
хаотическом аттракторе; в этом случае траектория отображения Пуанкаре
имеет более сложную структуру. Проиллюстрируем сказанное на примере
задачи о реакторе с перемешиванием, в котором происходит реакция типа
"брюсселятор" (ср. задачи 7, 9), находящаяся под влиянием некоторого
внешнего воздействия. Предположим, что из-
0 2 4 6X0 2 4 6 X
Рис. 5.40. Траектории периодических решений системы (5.11.12); А = 2, В=
6, со = 3, а) а = 0, Ь) а = 1,7084.
менение концентраций при этом описывается дифференциальными уравнениями
вида
?L = А-(В+ l)X + X2y + asin<a/,
dY , <5Л1Л2)
-JT- = ВХ - X2Y,
dt
где а - амплитуда и <а - частота внешнего воздействия. Выберем значения
параметров (концентраций подаваемых компонентов) , полагая А = 2 и В = 6.
Читатель может легко убедиться, что система (5.11.12) при а = 0 (при
отсутствии внешнего возбуждения) имеет неустойчивое стационарное решение
Х = А, Y = B/A, около которого существует устойчивое периодическое
решение с периодом Т = 5,0953 (собственная частота а>о = 2л/7'= 1,23313).
Траектория этого решения изображена на рис. 5.40а. На рис. 5.40Ь
представлено 1-периодическое решение для случая, когда имеет место
синхронизация с внешним воздействием.
17*
260
Глава 5
На рис. 5.41а - d приведены траектории отображений Пуанкаре
установившихся периодических решений, а также квазипериод ического
решения. В случае ^-периодического решения здесь отмечено k точек
траектории отображения Пуанкаре. На рис. 5.41е, f представлены примеры
траекторий отображения Пуанкаре, которые определяют хаотический
аттрактор. При сильном увеличении отдельного участка рис. 5.41е (или ,f)
можно было бы увидеть сложную структуру хаотического аттрактора.
