Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
двумерным. В частности, если точки орбиты О плотно заполняют замкнутую
кривую (типа окружности), то можно считать, что аттрактор имеет вид
двумерного тора, который плотно заполняется одной траекторией системы
(5.9.1).
Обычный численный подход к нахождению орбиты отображения Пуанкаре
заключается в том, что мы интегрируем систему (5.9.1) и на каждом шаге
интегрирования оцениваем знак функции S в формуле (5.9.9). При изменении
знака S мы находим точку пересечения Г с поверхностью 2 на основе
интерполяции между двумя последними точками, найденными в процессе
интегрирования. Очевидно, что грубая интерполяция будет источником
численных погрешностей; для интерполяции более высокого порядка нам
потребуется сохранять в ходе интегрирования большее число точек.
Нетрудно преобразовать процесс вычислений так, чтобы одна из точек,
найденных численным интегрированием, оказалась прямо на 2 (см. [5.21]).
Вместо общего соотношения (5.9.9) рассмотрим сначала случай, чаще всего
используемый на практике, а именно х,-- - а = 0, где а - некоторая
постоянная, a i фиксировано (1 ^ ^1^/2).
Преобразуем систему (5.9.1) в эквивалентную систему, в которой роль
независимой переменной вместо t играет х,-. Разделим каждое уравнение
системы (5.9.1) на i-e уравнение, причем будем предполагать, что /,(х,
а)фО в окрестности сечения 2. Тогда наша система преобразуется к виду
dxk
dx.
dt
тъгщ'- 4 = 1............." <4^г>
(5.9.9)
dxt f(. (х, а)
Теперь будем интегрировать систему (5.9.1) до момента изменения знака Xi
- а. Далее, перейдем к интегрированию системы
(5.9.9) с шагом A Xi = а - х,-, причем начальные условия мы
16*
244
Глава 5
будем брать в последней или в предпоследней точке, найденной
интегрированием уравнения (5.9.1) 1>. Найденная таким образом точка лежит
прямо на 2 (с точностью до погрешностей аппроксимации метода
интегрирования). Тем самым мы находим следующую точку орбиты отображения
Пуанкаре и можем продолжить интегрирование системы (5.9.1). Удобно
использовать при этом какой-нибудь одношаговый метод, например, метод
Рунге-Кутты с автоматическим изменением длины шага. Отметим, что если нам
не нужно знать моменты времени, когда траектория системы проходит через
сечение 2, то последнее уравнение в (5.9.9) можно опустить.
В общем случае гиперповерхности (5.9.8) мы вводим еще одну переменную
хП4-1 = 5(xi, ..., хп) (5.9.10)
и добавляем к системе (5.9.1) дифференциальное уравнение вида
-%±=/я+,(х, а), (5.9.11)
где
П
f*+. = XMx- а>^- (5-9.12)
7 = 1
Тем самым мы получаем новую систему из п + 1 дифференциальных уравнений,
причем начальное условие для неизвестной хп+1 задается в соответствии с
формулой (5.9.10).
Соотношение (5.9.8), описывающее гиперповерхность, имеет теперь вид хп+\
- 0. Далее мы поступаем точно так же, как это делалось ранее для
плоскости х,- - а = 0, полагая i = п -+- 1.
На рис. 5.34а - f приведены несколько периодических и одна хаотическая
орбита отображения Пуанкаре для задачи 10. Гиперплоскость 2 определялась
при этом уравнением у = 0. На рис. 5.34а изображена двухточечная орбита.
Эта орбита возникла после бифуркации удвоения периода от основной ветви
устойчивых периодических решений (см. рис. 5.26 из § 5.8). На рисунках
5.34Ь, с, d, е приведены орбиты отображения Пуанкаре, отвечающие
периодическим решениям задачи 10 с периодами 47" (возникающим после двух
бифуркаций удвоения периода.- Ред.), 8Т, 16Г для разных значений
параметра г. На этих рисунках хорошо прослеживается эволюция, которую
претерпевает орбита рис. 5.34а в ходе последовательных бифур-
*> Тем самым рекомендуется использовать запись (5.9.9) ровно на один шаг.
- Прим. ред.
5.9. Хаотические аттракторы
245
кадий удвоения периода. В результате этой последовательности бифуркаций
орбиты становятся хаотическими, как это видно из
Z
395
390
385
z
395
390
385
-48 -47 -46 Л-48 -47 -46 X -48 -47 -46 Л
Хг
4
2
0 2 4^0 2 4 X
Рис. 5.34. Орбиты отображения Пуанкаре. Задача 10 (а - /), ст = 16, b =
4, у = 0. а) г = 339,0, Ь) г = 338,0, с) г = 334,5, d) г = 334,2, е) г =
333,25, f) г = 332,5. Задача 8, ЛГ= 2 (g,h), А - 2, В = 5,9, Д> = ЮВп
показана проекция орбиты с гиперплоскости 21] - У] + Х2 - У2 + 0,9 = 0 на
плоскость *1-Д2. Я) 0i = 1,194, Л) В, = 1,21.
рис. 5.34f, где изображена "хаотическая" орбита отображения Пуанкаре для
значения параметра г - 332,5. Множество точек пересечения траектории
системы (5.9.1) с гиперплоскостью 2 плотно заполняет дугу кривой, которая
входит в пересечение
1 / со 1 V,. h
( 1
_ 1 1 t
1. 11 1 I f 1 1
a • 1 1 1 b 1 1 1 С _ • " • I [ 1
[ 1 1 d •• •* 1 I 1 1 1 1 e i i i 1 1 1 f \ \ \ ... 1. , ..1
.. "Л
246
Глава 5
(общую часть) хаотического аттрактора с гиперплоскостью Значения
параметра г в бифуркационных точках удвоения периода образуют так
называемую последовательность Фейген-баума, стремящуюся к некоторому
пределу (см. п. 2.5.3). Эти значения параметра г можно подсчитать с
помощью алгоритмов, описанных в п. 5.8.5, и на их основе вычислить
