Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
В книге имеются повторения, часть которых с разрешения авторов была
сокращена при переводе. Были исправлены также очевидные опечатки и
неточности. Спорные положения, а также некоторые свежие или почему-либо
не отраженные в книге интересные результаты отмечены в примечаниях
редактора. Там же даны пояснения к основному тексту.
Рассматриваемые в книге приложения носят в основном иллюстративный,
педагогический характер. Краткая сводка некоторых других приложений дана
в дополнении А. Как отмечают авторы,
8
Предисловие редактора перевода
нет никакой возможности сколько-нибудь полно осветить все разнообразные
приложения теории динамического хаоса. Все же хочется добавить к их
списку два более фундаментальных приложения в нелинейной теории поля.
Одно из них связано с открытыми в работе [4] (см. также [5, 6])
хаотическими колебаниями гравитационного поля в однородных анизотропных
космологических моделях общей теории относительности вблизи особенности.
Интересно отметить, что сложную исходную систему уравнений Эйнштейна
удается свести в конечном счете к простому одномерному отображению х = 1
х (mod 1), которое и определяет хаотическую динамику космологической
модели. Это отображение дает также пример простейшей динамической системы
с хаотическим движением. Еще один аналогичный пример - отображение х - kx
(mod 1), где целое &>1 (см. п. 5.2г).
Другое приложение относится к калибровочным полям Янга- Миллса,
ответственным за взаимодействие элементарных частиц. Классические
однородные модели такого поля описывают в отличие от предыдущего примера
локальную (внутреннюю) динамик)' поля, которая также оказывается, вообще
говоря, хаотической [7-9]. В простейшем случае такая однородная модель
сводится к обычной гамильтоновой системе с двумя степенями свободы и
потенциальной энергией U = (ху)2.
Отметим также красивое явление генерации магнитного поля за счет развития
локальной неустойчивости движения замагничек-ной плазмы [10].
Естественно, что в такой обширной и быстро развивающейся области, как
динамический хаос, даже самая "свежая" монография не успевает отразить
некоторые новые результаты, с одной стороны, и не в состоянии вместить
все аспекты этой многогранной проблемы, с другой стороны. Ниже мы
коснемся трех таких вопросов, которые указывают также на границы
применимости существующей теории динамического хаоса.
Первый вопрос относится к "аномальным" (аномально сложным) статистическим
свойствам динамического хаоса. В отличие от статистических гипотез, в
качестве которых естественно выбирать простейшие предположения,
статистические свойства определяются здесь динамикой системы и могут
оказаться весьма сложными. Такова, например, гидродинамическая
турбулентность. Исследования последних лет показали, что статистические
"аномалии" динамического хаоса - весьма распространенное явление,
связанное, в частности, со сложной иерархической (масштабно-инвариантной)
структурой границы хаоса в фазовом пространстве [11-14] (см. также конец
§ 5.4). Несмотря на экспоненциальную локальную неустойчивость движения,
это приводит к степенному затуханию корреляций: С(т) к Гр; р<; 1.
Диффузионное описание может оказаться в таких условиях совершенно
неприменимым.
Предисловие редактора перевода
t 9
Другой интересный вопрос: к чему ведет динамический хаос? Как мы теперь
знаем или, лучше сказать, наконец, поняли, конечным продуктом хаоса
совсем не обязательно является унылое статистическое равновесие, которое
может оказаться просто неустойчивым. Классический пример этого -
джинсовская неустойчивость гравитирующего газа, которой в конечном счете
все мы обязаны как своим существованием, так и неисчерпаемым
разнообразием окружающего нас мира. Аналогичные коллективные
(когерентные) процессы давно и широко изучаются в плазме. Сюда же
относится и так называемая "химическая динамика" (см. дополнение А.5).
Недавно все это получило привлекательное название "синергетика". С точки
зрения физики такие процессы естественно называть вторичной динамикой. К
ней относится по существу вся классическая механика макроскопических тел,
в частности, и вся небесная механика (первичной является в этом случае
молекулярная динамика). Одна из характерных особенностей вторичной
динамики - ничтожное число ее степеней свободы по сравнению с первичной
системой. Однако именно эти коллективные степени свободы и определяют
наиболее существенную глобальную структуру системы и ее эволюцию, тогда
как все остальное есть лишь некоторый общий термодинамический "фон". В
этом же состоит, по-видимому, и ответ на вопрос о предельном поведении
динамической системы с очень большим числом степеней свободы, который
кратко обсуждается в конце § 6.5. Дело здесь не столько в размере
сохраняющихся областей регулярного движения, сколько в возможности
возникновения вторичной динамики.
Наконец, еще один очень важный вопрос: в какой мере такой своеобразный
феномен, как динамический хаос, сохраняется в (более фундаментальной)
