Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
симметричных решений теряет устойчивость.
Рис. 5.29. Схематическое изображение бифуркаций периодических решений;
сплошные линии - устойчивые решения, штриховые линии - неустойчивые
решения, АР - амплитуда или какая-либо другая величина, характеризующая
периодические решения, +1-точка бифуркации с потерей симметрии, -1 -
точка бифуркации удвоения периода, LB - предельная точка (точка поворота)
, S - симметричное решение, А - асимметричное решение; а) точка поворота,
Ь) точка бифуркации с потерей симметрии, с) точка бифуркации удвоения
периода, d) последовательность бифуркаций, удваивающих период, которая
следует за бифуркацией с потерей симметрии, е) последовательность
бифуркаций, удваивающих период.
Следующий тип бифуркации возникает при переходе двух комплексно
сопряженных собственных чисел через единичную окружность. Здесь от
исходной ветви, которая утрачивает устойчивость, отходит ветвь
двухчастотных колебаний. Более точно, рождается инвариантный двумерный
тор, устойчивый или не-
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае 229
устойчивый в зависимости от супер критического или субкрити-ческого
характера бифуркации (т. е. от того, что больше, а или а*; см. п. 2.3.1).
В качестве примера описанных бифуркаций обратимся вновь к рис. 5.26а для
задачи 10, приведенному в п. 5.8.4. В окрестности каждой точки поворота
на узком интервале изменения г существует устойчивое периодическое
решение. Это решение теряет устойчивость либо через бифуркацию удвоения
периода (в случае ветви несимметричных решений, см. рис. 5.29е), либо в
точках бифуркации "+1" с потерей симметрии (в случае ветви симметричных
решений, см. выделенные точки на рис. 5.26а). За этой бифуркацией
возникает последовательность бифуркаций типа "-1" (см. рис. 5.29d). Кроме
того, на основной ветви на рис. 5.26а при г ~ 350 имеется
последовательность бифуркаций удвоения периода. На рисунке для последней
указаны только ветви решения с периодом ~2Т и ~47\
В последнее время внимание исследователей уделялось, в основном,
разработке новых методов нахождения точек бифуркации на ветвях диаграммы
периодических решений. Опишем здесь два итерационных метода для
нахождения точек бифуркации удвоения периода. Оба метода основаны на
нахождении периодического решения, для которого один из мультипликаторов
строго равен -1 [5.26].
Метод 1 (бифуркация "-1")
Пусть характеристический многочлен матрицы монодромии В есть Р (А) = (-
1)" det (В - AI).
Соответствующее характеристическое уравнение записывается в виде
Р (А) = A" -f- а1 А" -(- ... -(- а"_[А -|- ап = 0. (5.8.28)
Вычисление коэффициентов может производиться произвольным образом,
например, с помощью методов, рассмотренных в § 5.3.
Для того чтобы матрица В соответствовала точке бифуркации типа "-1",
значение А = -1 должно быть корнем уравнения (5.8.28), т. е. должно
выполняться следующее соотношение:
П,
Fn+Лчи ...,г\п,Т, а) = 1 + ?(-1)4 = 0. (5.8.29)
г=1
Уравнения (5.8.19) и (5.8.29) представляют собой систему га+1 нелинейных
(алгебраических) уравнений относительно я+1 неизвестных гц, ..., щ~\,
ти+ь •••, Лп, Т, а (неизвестную т\к мы вновь считаем фиксированной и
"лежащей" на искомом
230
Глава 5
профиле). Для решения этой системы воспользуемся методом Ньютона. Первые
п строк матрицы Якоби найдем с помощью соотношений (5.8.15), (5.8.16) и
(5.8.22). Элементы последней строки dFn+\/df\j, dFn+i/dT, dFn+\/да можно
вычислить, используя, например, соответствующие разностные формулы.
Метод 2 (бифуркация типа "-1")
Матрица монодромии В имеет в точке бифуркации удвоения периода
собственное число, равное -1. Это означает, что существует не равный нулю
вектор v=(ui, ..., vn), для которого
(В + I) v = 0. (5.8.30)
Вектор v, задаваемый системой (5.8.30), определен с точностью до
некоторого множителя. Поэтому одну составляющую вектора v мы можем
считать фиксированной в ходе всего процесса вычислений, положив,
например,
vs=l, (5.8.31)
где 1 ^ s ^ п. Тем самым мы получаем 2п уравнений (5.8.19),
(5.8.30) относительно 2п неизвестных тц, ..., ri*_i, x\k+\, ..., ч\п,
Т, a, Vi, ..., us_i, us+i, ..., vn. Для решения этой системы вновь,
как и в методе 1, воспользуемся схемой Ньютона. При
этом по
аналогии с методом 1 часть матрицы Якоби вычислим с помощью соотношений
(5.8.15), (5.8.16), (5.8.22), а оставшуюся часть с помощью
соответствующих разностных формул (существует также возможность их
аналитического вычисления). *
Проиллюстрируем описанные методы на примере задачи 8, в которой
рассматривалась модель двух связанных между собой реакторов. На рис.
5.27а была представлена диаграмма периодических решений для этой задачи,
на которой появились четыре точки бифуркации типа "-1". Координаты этих
точек1) приведены в табл. 5.25. Для точного определения критического
значения параметра a = Da! и соответствующего периодического решения в
одной из бифуркационных точек были применены оба описанных выше метода.
